ਲਾਪਲੈਸ ਟਰਾਂਸਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਅਖ਼ਰੀ ਮੁੱਲ ਥਿਊਰਮ (ਸਬੂਤ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਣ)

نیٹ ورک، ترانزینٹ، اور سسٹمز کے حل میں کبھی کبھی ہم لپلاس تبدیل F(s) سے وقت کی پوری فنکشن f(t) نکالنے میں دلچسپی نہیں رکھتے ہیں جو حل کے لئے درست ہے۔ یہ بہت دلچسپ ہے کہ ہم پوری فنکشن f(t) نکالنے کے بغیر f(t) یا اس کے مشتق کے پہلے یا آخری قدر کو نکال سکتے ہیں۔ اس مضمون میں ہم فائنل قدر اور اس کے مشتق کو نکالنے میں دلچسپی رکھیں گے۔

مثال کے طور پر:
اگر F(s) دی گئی ہے، ہم F(∞) کو جاننا چاہیں گے، f(t) کو نہ جانے کے باوجود، جو لپلاس تبدیل کا الٹ ہوتا ہے، وقت t→ ∞ پر۔ یہ لپلاس تبدیل کی خصوصیت کا استعمال کرتے ہوئے کیا جا سکتا ہے جسے فائنل قدر کا قضیہ کہا جاتا ہے۔ فائنل قدر کا قضیہ اور ابتدائی قدر کا قضیہ کو محدود قضیے کہا جاتا ہے۔

لپلاس تبدیل کے فائنل قدر کا قضیہ کی تعریف

اگر f(t) اور f'(t) دونوں لپلاس تبدیل کیے جاسکتے ہیں اور sF(s) jw محور پر اور R.H.P. (دائیں نصف صفحہ) میں کوئی پول نہیں ہے تو،

لپلاس تبدیل کے فائنل قدر کا قضیہ کا ثبوت
ہم لپلاس تبدیل کی تفریق خصوصیت جانتے ہیں:

نوٹ
یہاں حد 0– کو t = 0 پر موجود امپالس کو دیکھنے کے لئے لیا گیا ہے
اب ہم حد s → 0 لیتے ہیں۔ پھر e-st → 1 اور پورا مساوات منظر کی طرح ہو جاتا ہے

لپلاس تبدیل کے فائنل قدر کا قضیہ کے مثالیں
فائنل قدر کو نکالیں F(s) کو واضح طور پر f(t) کی کلکولیشن کے بغیر

جواب


جواب

نوٹ
یہاں لپلاس تبدیل کا الٹ کارڈینگ کرنا مشکل ہے۔ پھر بھی ہم قضیہ کے ذریعے فائنل قدر کو نکال سکتے ہیں۔

جواب
نوٹ
مثال 1 اور 2 میں ہم شرائط کو چیک کر چکے ہیں لیکن یہ سبھی کو پورا کرتے ہیں۔ لہذا ہم صرف واضح طور پر ظاہر نہیں کرتے۔ لیکن یہاں sF(s) کے R.H.P (دائیں نصف صفحہ) میں ایک پول ہے کیونکہ مخرج میں ایک مثبت ریٹ ہے۔
لہذا یہاں ہم فائنل قدر کا قضیہ لاگو نہیں کرسکتے۔

جواب
نوٹ
یہاں sF(s) کے jw محور پر پول ہیں۔ +2i اور -2i خصوصی طور پر۔
لہذا یہاں ہم فائنل قدر کا قضیہ بھی لاگو نہیں کرسکتے۔

جواب
نوٹ

یاد رکھنے کے لئے نکات:

• FVT کا استعمال کرنے کے لئے ہمیں یقین کرنا ہوگا کہ f(t) اور f'(t) تبدیل کیے جاسکتے ہیں۔

• ہمیں یقین کرنا ہوگا کہ فائنل قدر موجود ہے۔ فائنل قدر نہیں ہوتی یہ حالتیں ہیں

اگر sF(s) کے s پلین کے دائیں جانب پول ہیں۔ [مثال 3]
اگر sF(s) کے jw محور پر متعدد پول ہیں۔ [مثال 4]
اگر sF(s) کے مبدا پر پول ہیں۔ [مثال 5]

• پھر لاگو کریں

یہاں sF(s) کے مبدا پر پول ہیں۔
لہذا یہاں ہم فائنل قدر کا قضیہ بھی لاگو نہیں کرسکتے۔
آخری ٹرک
صرف یہ چیک کریں کہ sF(s) غیر محدود ہے یا نہیں۔ اگر غیر محدود ہے، تو یہ فائنل قدر کا قضیہ کے لئے مناسب نہیں ہے اور فائنل قدر صرف لامتناہی ہے۔

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.