Finara Valoroteoremo en Laplac-a Transformo (Provo & Ekzemploj)

En la solvo de retoj, transientejoj kaj sistemoj foje ni eble ne interesos trovi la tutan funkcion de tempo f(t) el ĝia Laplaca Transformo F(s), kiu estas havebla por la solvo. Estas tre interese scii, ke ni povas trovi la unuan valoron aŭ la finan valoron de f(t) aŭ ĝiaj derivaĵoj sen devi trovi la tutan funkcion f(t). Ni interesos trovi finajn valorojn kaj iliajn derivaĵojn en ĉi tiu artikolo.

Por ekzemplo:
Se F(s) estas donita, ni ŝatus scii kio estas F(∞), sen scii la funkcion f(t), kiu estas Inversa Laplaca Transformo, je tempo t→ ∞. Ĉi tio povas esti farita per uzo de la propraĵo de Laplaca Transformo konata kiel Finala Valora Teoremo. Finala valora teoremo kaj komenca valora teoremo estas kunmetitaj sub la nomo Limigaj Teoremoj.

Difino de Finala Valora Teoremo de Laplaca Transformo

Se f(t) kaj f'(t) ambaŭ estas Laplace-transformeblaj kaj sF(s) ne havas polusojn sur la jw akso kaj en la DHP (Dekstra duona ebeno), do,

Provo de Finala Valora Teoremo de Laplaca Transformo
Ni scias diferencialan propraĵon de Laplaca Transformo:

Noto
Ĉi tie la limo 0– estas prenita por prizorgi la impulsojn prezentajn je t = 0
Nun ni prenas limon kiel s → 0. Tiam e-st → 1 kaj la tuta ekvacio aspektas kiel

Ekzemploj de Finala Valora Teoremo de Laplaca Transformo
Trovu la finajn valorojn de la donita F(s) sen kalkuli ekspliĉe f(t)

Respondo


Respondo

Noto
Vidu ĉi tie, ke la Inversa Laplaca Transformo estas malfacila en ĉi tiu okazo. Tamen ni ankoraŭ povas trovi la Finan Valoron tra la Teoremo.

Respondo
Noto
En Ekzemplo 1 kaj 2 ni kontrolis la kondiĉojn, sed ili ĉiujn kontentigas. Do, ni evitas montri tion ekspliĉe. Sed ĉi tie sF(s) havas poluson en la DHP, ĉar la denominatoro havas pozitivan radikon.
Tial, ĉi tie ni ne povas apliki Finalan Valoran Teoremon.

Respondo
Noto
En ĉi tiu ekzemplo sF(s) havas poluso sur la jw akso. Specife +2i kaj -2i.
Tial, ĉi tie ni ankaŭ ne povas apliki Finalan Valoran Teoremon.

Respondo
Noto

Punktoj por memorado:

• Por apliki FVT ni devas certigi, ke f(t) kaj f'(t) estas transformeblaj.

• Ni devas certigi, ke la Finala Valoro ekzistas. Finala valoro ne ekzistas en la sekvaj kazoj

Se sF(s) havas polusojn en la dekstra flanko de la s-ebeno. [Ekzemplo 3]
Se sF(s) havas konjugitajn polusojn sur la jw akso. [Ekzemplo 4]
Se sF(s) havas poluson en la origino. [Ekzemplo 5]

• Tiam apliku

En ĉi tiu ekzemplo sF(s) havas poluson en la origino.
Do, ĉi tie ni ne povas apliki Finalan Valoran Teoremon ankaŭ.
Finara Tricko
Simpla kontrolu, ĉu sF(s) estas malbarita aŭ ne. Se malbarita, tiam ĝi ne taŭgas por Finala Valora Teoremo kaj la finala valoro estas simple infinita.

Deklaro: Respektu la originalon, bonajn artikolojn valesas dissendi, se estas krado kontaktu por forigi.