Laplace'i teisenduse lõppväärtusteoreem (tõestus ja näited)

Võrkude, ajutiste olukordade ja süsteemide lahendamisel võib mõnikord olla ebaoluline leida kogu aja funktsioon f(t) selle Laplace'i teisenduse F(s) abil, mis on lahenduseks saadaval. On väga huvitav, et saame leida f(t) või selle tuletiste esimese või viimase väärtuse ilma kogu funktsiooni f(t) leidmata. Selles artiklis keskendume lõppväärtuste ja nende tuletiste leidmisele.

Näiteks:
Kui F(s) on antud, soovime teada, mis on F(∞), ilma f(t) funktsiooni, mis on Laplace'i pöördteisendus, t→ ∞ ajal teadmata. Seda saab teha kasutades Laplace'i teisenduse omadust, mida nimetatakse lõppväärtuse teoreemi. Lõppväärtuse teoreem ja algväärtuse teoreem on üldiselt tuntud piirteoreemidena.

Lõppväärtuse teoreemi definitsioon Laplace'i teisenduse korral

Kui f(t) ja f'(t) on mõlemad Laplace'i teisendatavad ja sF(s) ei oma mitte ühtegi poolust jw teljel ega paremas poolosas (Right half Plane - R.H.P.), siis,

Lõppväärtuse teoreemi tõestus Laplace'i teisenduse korral
Me teame Laplace'i teisenduse diferentseerimisomadust:

Märkus
Siin piiri 0– kasutatakse impulsside arvestamiseks t = 0.
Nüüd võtame piiri, kui s → 0. Siis e-st → 1 ja terve võrrand näeb välja järgmiselt

Lõppväärtuse teoreemi näited Laplace'i teisenduse korral
Leidke antud F(s) lõppväärtused ilma, et f(t) arvutataks selgelt välja.

Vastus


Vastus

Märkus
Siin Laplace'i pöördteisendus on raske. Siiski saame leida lõppväärtuse teoreemi abil.

Vastus
Märkus
Näidetes 1 ja 2 oleme kontrollinud tingimusi, kuid need kõik rahuldavad neid. Seega jääme sellega tähelepanu andmist vältima. Siiski sF(s)l on poolus paremas poolosas, kuna nimetajal on positiivne juur.
Seega, siin me ei saa rakendada lõppväärtuse teoreemi.

Vastus
Märkus
Selles näites sF(s)l on poolus jw teljel, konkreetsemalt +2i ja -2i.
Seega, siin me ei saa rakendada lõppväärtuse teoreemi ka.

Vastus
Märkus

Mida meeles pidada:

• Lõppväärtuse teoreemi rakendamiseks peame tagama, et f(t) ja f'(t) on teisendatavad.

• Peame tagama, et lõppväärtus eksisteerib. Lõppväärtust ei eksisteeri järgmistel juhtudel

Kui sF(s)l on poolus paremas poolosas. [Näide 3]
Kui sF(s)l on konjugeeritud poolused jw teljel. [Näide 4]
Kui sF(s)l on poolus nullipunktis. [Näide 5]

• Seejärel rakenda

Selles näites sF(s)l on poolus nullipunktis.
Seega, siin me ei saa rakendada lõppväärtuse teoreemi ka.
Lõplik trikk
Lihtsalt kontrollige, kas sF(s) on piiramatu või mitte. Kui see on piiramatu, siis see ei sobi lõppväärtuse teoreemi jaoks ning lõppväärtus on lihtsalt lõpmatu.

Teade: Austa originaali, hea artikkel on jagamiseks väärt, kui on tekkinud autoriõiguste rikkumine, palun võta ühendust, et kustutada.