Теорема о конечном значении в преобразовании Лапласа (доказательство и примеры)

При решении задач по сетям, переходным процессам и системам иногда нас может не интересовать нахождение полной функции времени f(t) из ее преобразования Лапласа F(s), которое доступно для решения. Очень интересно, что мы можем найти начальное или конечное значение f(t) или его производных, не находя всю функцию f(t). В этой статье мы будем заинтересованы в нахождении конечных значений и их производных.

Для примера:
Если дано F(s), мы хотели бы знать, чему равно F(∞), не зная функции f(t), которая является обратным преобразованием Лапласа, при t→ ∞. Это можно сделать, используя свойство преобразования Лапласа, известное как теорема о конечном значении. Теорема о конечном значении и теорема о начальном значении вместе называются предельными теоремами.

Определение теоремы о конечном значении преобразования Лапласа

Если f(t) и f'(t) оба поддаются преобразованию Лапласа и sF(s) не имеет полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости (R.H.P.), то,

Доказательство теоремы о конечном значении преобразования Лапласа
Мы знаем свойство дифференцирования преобразования Лапласа:

Примечание
Здесь предел 0– берется для учета импульсов, присутствующих при t = 0
Теперь возьмем предел при s → 0. Тогда e-st → 1, и все уравнение выглядит так:

Примеры применения теоремы о конечном значении преобразования Лапласа
Найдите конечные значения заданного F(s), не вычисляя явно f(t)

Ответ


Ответ

Примечание
Здесь обратное преобразование Лапласа сложно. Тем не менее, мы можем найти конечное значение с помощью теоремы.

Ответ
Примечание
В примерах 1 и 2 мы проверили условия, но они все удовлетворяют. Поэтому мы воздерживаемся от явного показа. Но здесь sF(s) имеет полюс в правой полуплоскости, так как знаменатель имеет положительный корень.
Поэтому здесь мы не можем применить теорему о конечном значении.

Ответ
Примечание
В этом примере sF(s) имеет полюсы на мнимой оси, а именно +2i и -2i.
Поэтому здесь мы также не можем применить теорему о конечном значении.

Ответ
Примечание

Точки для запоминания:

• Для применения теоремы о конечном значении необходимо убедиться, что f(t) и f'(t) поддаются преобразованию.

• Необходимо убедиться, что существует конечное значение. Конечное значение не существует в следующих случаях

Если sF(s) имеет полюсы в правой части плоскости s. [Пример 3]
Если sF(s) имеет сопряженные полюсы на мнимой оси. [Пример 4]
Если sF(s) имеет полюс в начале координат. [Пример 5]

• Затем примените

В этом примере sF(s) имеет полюс в начале координат.
Поэтому здесь мы также не можем применить теорему о конечном значении.
Финальный трюк
Просто проверьте, является ли sF(s) неограниченным или нет. Если неограниченно, то это не подходит для теоремы о конечном значении, и конечное значение просто бесконечно.

Заявление: Уважайте авторские права, хорошие статьи стоят того, чтобы ими делиться, если есть нарушение прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.