Teorema ng Huling Halaga sa Transformasyong Laplace (Patas at Mga Halimbawa)

Sa paglutas ng mga Network, Transient, at System, minsan ay hindi kami interesado sa paghahanap ng buong function of time f(t) mula sa kanyang Laplace Transform F(s), na available para sa solusyon. Napakagandang malaman na maaari nating makuhang ang unang value o huling value ng f(t) o ng kanyang mga derivative nang hindi kailangang alamin ang buong function f(t). Magiging interesado tayo sa paghahanap ng mga final values at ng kanyang mga derivatives sa artikulong ito.

Para sa halimbawa:
Kung ibinibigay ang F(s), gustong malaman natin kung ano ang F(∞), nang walang kailangang malaman ang function f(t), na Inverse Laplace Transformation, sa oras t→ ∞. Ito ay maaaring gawin gamit ang property ng Laplace Transform na tinatawag na Final Value Theorem. Ang Final value theorem at initial value theorem ay pinagsama-sama na tinatawag na Limiting Theorems.

Pangalanan ng Final Value Theorem ng Laplace Transform

Kung ang f(t) at f'(t) parehong Laplace Transformable at sF(s) walang pole sa jw axis at sa R.H.P. (Right half Plane) pagkatapos,

Patunayan ng Final Value Theorem ng Laplace Transform
Alam natin ang differentiation property ng Laplace Transformation:

Tandaan
Dito ang limit 0– ay kinuha upang mapagtanto ang mga impulse na naroroon sa t = 0
Ngayon, kinukuha natin ang limit bilang s → 0. Pagkatapos, e-st → 1 at ang buong equation ay magmumukhang

Mga Halimbawa ng Final Value Theorem ng Laplace Transform
Hanapin ang mga final values ng ibinigay na F(s) nang hindi kailangang kalkulahin nang direktang ang f(t)

Sagot


Sagot

Tandaan
Tingnan dito na ang Inverse Laplace Transform ay mahirap sa kasong ito. Gayunpaman, maaari pa rin nating makuhang ang Final Value sa pamamagitan ng Theorem.

Sagot
Tandaan
Sa Example 1 at 2, napatunayan namin ang mga kondisyon pero ito ay sumasang-ayon sa lahat. Kaya, hinahayaan namin ang sarili nang hindi ipinapakita nang eksplisito. Ngunit dito, ang sF(s) ay may pole sa R.H.P dahil ang denominator ay may positibong ugat.
Kaya, dito hindi natin maaaring ilapat ang Final Value Theorem.

Sagot
Tandaan
Sa halimbong ito, ang sF(s) ay may poles sa jw axis. +2i at -2i khususin.
Kaya, dito hindi natin maaaring ilapat ang Final Value Theorem din.

Sagot
Tandaan

Mga Talaan na dapat tandaan:

• Para sa paglalapat ng FVT, kailangan nating siguraduhin na ang f(t) at f'(t) ay transformable.

• Kailangan nating siguraduhin na umiiral ang Final Value. Walang Final value sa mga kasunod na kaso

Kung ang sF(s) ay may poles sa kanan side ng s plane. [Example 3]
Kung ang sF(s) ay may conjugate poles sa jw axis. [Example 4]
Kung ang sF(s) ay may pole sa origin. [Example 5]

• Pagkatapos, ilapat

Sa halimbong ito, ang sF(s) ay may pole sa origin.
Kaya, dito hindi natin maaaring ilapat ang Final Value Theorem.
Final Trick
Basahin lamang kung ang sF(s) ay unbounded o hindi. Kung unbounded, hindi ito katugon para sa Final Value Theorem at ang final value ay simpleng infinite.

Pahayag: Respeto sa orihinal, mabubuti na artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may paglabag sa karapatang-ari magpakontak upang tanggalin.