Végeredményi Tétel a Laplace-transzformációban (Bizonyítás & Példák)

A hálózatok, átmeneti folyamatok és rendszerek megoldásakor néha nem érdekel minket az egész időfüggvény f(t) meghatározása a Laplace-transzformált F(s) alapján, amely a megoldás része. Érdekes, hogy meghatározhatjuk f(t) vagy annak deriváltjainak első vagy utolsó értékét anélkül, hogy a teljes f(t) függvényt is meghatároznánk. Ez a cikk a végső értékek és a deriváltjuk meghatározásával foglalkozik.

Példaként:
Ha adott F(s), akkor szeretnénk megtudni, mi F(∞), anélkül, hogy ismernénk az inverz Laplace-transzformált f(t) függvényét, amikor t→ ∞. Ezt a Laplace-transzformáció egyik tulajdonságával, a Végső érték tétellel tehetjük meg. A kezdeti érték tétel és a végső érték tétel együttesen határértéktételeknek nevezik.

A Végső érték tétel definíciója a Laplace-transzformációban

Ha f(t) és f'(t) mindkettő Laplace-transzformálható, és sF(s)-nek nincs pólusa a jw tengelyen vagy a jobb félsíkban (R.H.P.), akkor:

A Végső érték tétel bizonyítása a Laplace-transzformációban
Tudjuk, hogy a Laplace-transzformáció differenciálási tulajdonsága:

Megjegyzés
Itt a 0– határérték gondoskodik az impulzusokról, amelyek t = 0-ban találhatók
Most vesszük a határértéket, amikor s → 0. Ekkor e-st → 1, és az egész egyenlet így néz ki:

A Végső érték tétel példái a Laplace-transzformációban
Meghatározzuk a megadott F(s) végső értékét, anélkül, hogy kifejezetten kiszámolnánk f(t)-t

Válasz


Válasz

Megjegyzés
Látható, hogy itt az inverz Laplace-transzformáció nehézkes. Mégis meghatározhatjuk a végső értéket a tétellel.

Válasz
Megjegyzés
A 1. és 2. példában ellenőriztük a feltételeket, de ezek minden esetben teljesültek. Tehát nem mutatjuk explicit módon. De itt sF(s)-nek van pólusa a jobb félsíkon, mert a nevezőben van pozitív gyök.
Tehát, itt nem alkalmazhatjuk a Végső érték tételt.

Válasz
Megjegyzés
Ebben a példában sF(s)-nek vannak pólusai a jw tengelyen, +2i és -2i konkrétan.
Tehát, itt sem alkalmazhatjuk a Végső érték tételt.

Válasz
Megjegyzés

Emlékeztető pontok:

• A VÉT alkalmazásához szükség van arra, hogy f(t) és f'(t) transzformálható legyenek.

• Biztosítanunk kell, hogy létezik a végső érték. A végső érték nem létezik a következő esetekben:

Ha sF(s)-nek vannak pólusai a jobb oldali s síkon. [3. példa]
Ha sF(s)-nek vannak konjugált pólusai a jw tengelyen. [4. példa]
Ha sF(s)-nek van pólusa az origóban. [5. példa]

• Ezután alkalmazzuk

Ebben a példában sF(s)-nek van pólusa az origóban.
Tehát, itt sem alkalmazhatjuk a Végső érték tételt.
Utolsó trükk
Csak ellenőrizd, hogy sF(s) korlátlan-e. Ha korlátlan, akkor nem alkalmas a Végső érték tétel alkalmazására, és a végső érték végtelen.

Kijelentés: Tiszteletben tartsa az eredeti, jó cikkeket, amiket érdemes megosztani, ha sértés esetén lépjen kapcsolatba a törlésével.