लाप्लास रूपांतर में अंतिम मान प्रमेय (प्रमाण और उदाहरण)

नेटवर्क, ट्रांसिएंट और सिस्टमों के हल में कभी-कभी हम इसके लाप्लास रूपांतर F(s) से पूरी समय फलन f(t) ज्ञात करने में रुचि नहीं रखते। यह बहुत दिलचस्प है कि हम पूरे फलन f(t) को ज्ञात किए बिना f(t) या इसके डेरिवेटिव्स का पहला या अंतिम मान ज्ञात कर सकते हैं। इस लेख में हम अंतिम मान और इसके डेरिवेटिव्स ज्ञात करने में रुचि रखेंगे।

उदाहरण के लिए:
यदि F(s) दिया गया है, तो हम जानना चाहेंगे कि F(∞) क्या है, बिना इसके इन्वर्स लाप्लास रूपांतर, जो f(t) है, को जाने के तथा t→ ∞ पर। यह लाप्लास रूपांतर के एक गुण, जिसे अंतिम मान प्रमेय कहा जाता है, का उपयोग करके किया जा सकता है। अंतिम मान प्रमेय और प्रारंभिक मान प्रमेय एक साथ लिमिटिंग प्रमेय कहलाते हैं।

लाप्लास रूपांतर की अंतिम मान प्रमेय की परिभाषा

यदि f(t) और f'(t) दोनों लाप्लास रूपांतरण योग्य हैं और sF(s) का कोई ध्रुव jw अक्ष या R.H.P. (दाईं आधी तल) में नहीं है, तो,

लाप्लास रूपांतर की अंतिम मान प्रमेय का प्रमाण
हम जानते हैं कि लाप्लास रूपांतरण का विभेदन गुण:

नोट
यहाँ सीमा 0– ली गई है ताकि t = 0 पर मौजूद आवेशों का ध्यान रखा जा सके
अब हम s → 0 की सीमा लेते हैं। तब e-st → 1 और पूरा समीकरण इस तरह दिखता है

लाप्लास रूपांतर की अंतिम मान प्रमेय के उदाहरण
दिए गए F(s) के अंतिम मान निकालें बिना f(t) को व्यक्त रूप से गणना किए

उत्तर


उत्तर

नोट
यहाँ इन्वर्स लाप्लास रूपांतरण कठिन है। फिर भी हम प्रमेय के माध्यम से अंतिम मान ज्ञात कर सकते हैं।

उत्तर
नोट
उदाहरण 1 और 2 में हमने शर्तों की जाँच की है लेकिन वे सभी को संतुष्ट करते हैं। इसलिए हम उन्हें व्यक्त रूप से दिखाने से परहेज करते हैं। लेकिन यहाँ sF(s) का ध्रुव R.H.P में है क्योंकि हर में एक धनात्मक मूल है।
इसलिए, यहाँ हम अंतिम मान प्रमेय लागू नहीं कर सकते।

उत्तर
नोट
इस उदाहरण में sF(s) के jw अक्ष पर ध्रुव हैं। +2i और -2i विशेष रूप से।
इसलिए, यहाँ हम अंतिम मान प्रमेय लागू नहीं कर सकते।

उत्तर
नोट

याद रखने योग्य बिंदु:

• FVT लागू करने के लिए हमें सुनिश्चित करना होगा कि f(t) और f'(t) रूपांतरण योग्य हैं।

• हमें सुनिश्चित करना होगा कि अंतिम मान मौजूद है। निम्नलिखित मामलों में अंतिम मान मौजूद नहीं है

यदि sF(s) के s तल के दाईं ओर ध्रुव हैं। [उदाहरण 3]
यदि sF(s) के jw अक्ष पर संयुग्मित ध्रुव हैं। [उदाहरण 4]
यदि sF(s) का ध्रुव मूल पर है। [उदाहरण 5]

• फिर लागू करें

इस उदाहरण में sF(s) का ध्रुव मूल पर है।
इसलिए यहाँ हम अंतिम मान प्रमेय लागू नहीं कर सकते।
अंतिम ट्रिक
बस यह जाँचें कि sF(s) अपरिमित है या नहीं। यदि अपरिमित है, तो यह अंतिम मान प्रमेय के लिए उपयुक्त नहीं है और अंतिम मान असीम है।

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