Laplace Dönüşümündə Nihai Dəyər Teoremi (İsbatı və Nümunələr)

Şəbəkələrin, müvəqqit rejimlərin və sistemlərin həllində bəzən f(t) funksiyasının tamamını onun Laplas Dönüşümü F(s)-dən tapmaq istəməyə bilərik. Tam funksiyanı tapmadan f(t) və ya onun törəməsinin ilk və ya son dəyərini tapmaq çox maraqlıdır. Bu məqalədə son dəyərləri və onların törəmələrini tapmaq ilə maraqlanacağıq.

Nümunə:
Əgər F(s) verilibsə, f(t) funksiyasını (tərs Laplas Dönüşümü) bilmədən, t→ ∞ zamanı F(∞)-i öyrənmək istəyə bilərik. Bu, Son Dəyər Teoremi adlanan Laplas Dönüşümünün xüsusiyyəti ilə edilə bilər. Son dəyər teoremi və başlanğıc dəyər teoremi birlikdə Limit Teoremleri kimi tanınır.

Laplas Dönüşümündə Son Dəyər Teoreminin Tərif

Əgər f(t) və f'(t) hər ikisi Laplas Dönüşümünə uyğundursa və sF(s) jw oxunda və sağ yarı düzlemində (R.H.P.) polu yoxdursa, o zaman,

Laplas Dönüşümündə Son Dəyər Teoreminin İstinadı
Laplas Dönüşümünün differeşsiya xüsusiyyətini bilirik:

Qeyd
Burada limit 0– t = 0-da olan impulsları nəzərə alır.
İndi s → 0 limitini götürürük. O zaman e-st → 1 və bütün tənliq belə görünür:

Laplas Dönüşümündə Son Dəyər Teoreminin Nümunələri
F(s)-nin son dəyərlərini, f(t)-ni hesablamadan tapın:

Cavab


Cavab

Qeyd
Burada tərs Laplas Dönüşümü çətin olar. Ancaq hələ də Teorem vasitəsilə Son Dəyəri tapa bilərik.

Cavab
Qeyd
Nümunə 1 və 2-də şərtləri yoxlayırıq, amma hər ikisi onları ödəyir. Buna görə, bunları açıqlayışdan qorxuruq. Amma burada sF(s) sağ yarı düzlemində polu var, çünki məxrəc müsbət kökdən ibarətdir.
Burada Son Dəyər Teoremi tətbiq edə bilmərik.

Cavab
Qeyd
Bu nümunədə sF(s) jw oxunda polu var, +2i və -2i xüsusi olaraq.
Burada da Son Dəyər Teoremi tətbiq edə bilmərik.

Cavab
Qeyd

Yadda saxlamaq lazımdı:

• Son Dəyər Teoremi tətbiq etmək üçün f(t) və f'(t)-nin Laplas Dönüşümünə uyğun olduğundan əmin olmalıyıq.

• Son dəyərin mövcud olduğunu əmin olmalıyıq. Aşağıdakı hallarda son dəyər mövcud deyil

Əgər sF(s) s düzlemində sağ tərəfdə polu varsa. [Nümunə 3]
Əgər sF(s) jw oxunda kompleks köklər varsa. [Nümunə 4]
Əgər sF(s) orijində polu varsa. [Nümunə 5]

• Sonra tətbiq edin

Bu nümunədə sF(s) orijində polu var.
Burdada Son Dəyər Teoremini tətbiq edə bilmərik.
Son Trik
Sadəcə sF(s) sınırsız olub olmadığını yoxlayın. Əgər sınırsızdırsa, o, Son Dəyər Teoremi üçün uyğun deyil və son dəyər sadəcə sonsuzdur.

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.