Teorema del valor final en la transformada de Laplace (Demostració i exemples)

En la solució de xarxes, transients i sistemes, a vegades pot no interessar-nos trobar la funció completa de temps f(t) a partir de la seva transformada de Laplace F(s), que està disponible per a la solució. És molt interessant veure que podem trobar el primer valor o l'últim valor de f(t) o les seves derivades sense haver de trobar la funció completa f(t). En aquest article ens interessa trobar els valors finals i les seves derivades.

Per exemple:
Si s'ens dona F(s), ens agradaria saber quin és F(∞), sense conèixer la funció f(t), que és la transformada inversa de Laplace, quan t→ ∞. Això es pot fer utilitzant la propietat de la transformada de Laplace coneguda com a Teorema del valor final. El teorema del valor final i el teorema del valor inicial són coneguts conjuntament com a Teoremes Límitants.

Definició del teorema del valor final de la transformada de Laplace

Si f(t) i f'(t) són transformables amb Laplace i sF(s) no té pols en l'eix jw ni en el R.H.P. (Pla dret), llavors,

Prova del teorema del valor final de la transformada de Laplace
Sabem la propietat de diferenciació de la transformada de Laplace:

Nota
Aquí es pren el límit 0– per tenir en compte els impulsos presents a t = 0
Ara prenem el límit quan s → 0. Llavors e-st → 1 i tota l'equació sembla

Exemples del teorema del valor final de la transformada de Laplace
Trobeu els valors finals de la F(s) donada sense calcular explícitament f(t)

Resposta


Resposta

Nota
Vegeu aquí que la transformada inversa de Laplace és difícil en aquest cas. Encara així, podem trobar el valor final a través del teorema.

Resposta
Nota
En els exemples 1 i 2 hem comprovat les condicions, però les satisfan totes. Per tant, ens abstenem de mostrar-ho explícitament. Però aquí sF(s) té un pol al R.H.P ja que el denominador té una arrel positiva.
Així, aquí no podem aplicar el teorema del valor final.

Resposta
Nota
En aquest exemple, sF(s) té pols a l'eix jw. Específicament, +2i i -2i.
Així, aquí tampoc podem aplicar el teorema del valor final.

Resposta
Nota

Punts a recordar:

• Per aplicar el teorema del valor final, cal assegurar-se que f(t) i f'(t) són transformables.

• Cal assegurar-se que existeix el valor final. El valor final no existeix en els següents casos

Si sF(s) té pols al costat dret del pla s. [Exemple 3]
Si sF(s) té pols conjugades a l'eix jw. [Exemple 4]
Si sF(s) té un pol a l'origen. [Exemple 5]

• Llavors apliqueu

En aquest exemple, sF(s) té un pol a l'origen.
Així que aquí tampoc podem aplicar el teorema del valor final.
Truc final
Només comproveu si sF(s) és il·limitat o no. Si és il·limitat, llavors no és adequat per al teorema del valor final i el valor final és simplement infinit.

Declaració: Respecteu l'original, els bons articles meriteixen ser compartits, si hi ha infracció de drets contacteu per esborrar.