Teorem Nilai Akhir dalam Transformasi Laplace (Bukti & Contoh)

Dalam penyelesaian rangkaian, keadaan sementara, dan sistem, kadang-kadang kita mungkin tidak tertarik untuk mencari seluruh fungsi waktu f(t) dari Transformasi Laplace F(s), yang tersedia untuk penyelesaiannya. Sangat menarik untuk mengetahui bahwa kita dapat menemukan nilai pertama atau terakhir f(t) atau turunannya tanpa perlu mengetahui seluruh fungsi f(t). Dalam artikel ini, kita akan tertarik untuk menemukan nilai akhir dan turunannya.

Sebagai contoh:
Jika F(s) diberikan, kita ingin mengetahui apa itu F(∞), tanpa mengetahui fungsi f(t), yang merupakan Transformasi Laplace Invers, pada saat t→ ∞. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat Transformasi Laplace yang dikenal sebagai Teorem Nilai Akhir. Teorem nilai akhir dan teorem nilai awal bersama-sama disebut Teorema Limit.

Definisi Teorem Nilai Akhir Transformasi Laplace

Jika f(t) dan f'(t) keduanya dapat ditransformasikan Laplace dan sF(s) tidak memiliki kutub di sumbu jw dan di R.H.P. (Right Half Plane) maka,

Bukti Teorem Nilai Akhir Transformasi Laplace
Kita tahu sifat diferensiasi Transformasi Laplace:

Nota
Di sini limit 0– diambil untuk mengurus impuls yang ada pada t = 0
Sekarang kita ambil limit s → 0. Maka e-st → 1 dan keseluruhan persamaan terlihat seperti

Contoh Teorem Nilai Akhir Transformasi Laplace
Cari nilai akhir dari F(s) yang diberikan tanpa menghitung secara eksplisit f(t)

Jawapan


Jawapan

Nota
Lihat di sini Transformasi Laplace Invers adalah sukar dalam kasus ini. Tetapi kita masih dapat menemukan Nilai Akhir melalui Teorema.

Jawapan
Nota
Dalam Contoh 1 dan 2 kita telah memeriksa syaratnya tetapi semuanya memenuhi. Jadi, kita tidak menunjukkan secara eksplisit. Tetapi di sini sF(s) memiliki kutub di R.H.P karena penyebutnya memiliki akar positif.
Jadi, di sini kita tidak dapat menerapkan Teorem Nilai Akhir.

Jawapan
Nota
Dalam contoh ini sF(s) memiliki kutub pada sumbu jw. +2i dan -2i secara khusus.
Jadi, di sini kita juga tidak dapat menerapkan Teorem Nilai Akhir.

Jawapan
Nota

Perkara penting untuk diingat:

• Untuk menerapkan FVT kita perlu memastikan bahwa f(t) dan f'(t) dapat ditransformasikan.

• Kita perlu memastikan bahwa Nilai Akhir ada. Nilai akhir tidak ada dalam kasus berikut

Jika sF(s) memiliki kutub di sisi kanan bidang s. [Contoh 3]
Jika sF(s) memiliki kutub konjugat di sumbu jw. [Contoh 4]
Jika sF(s) memiliki kutub di asal. [Contoh 5]

• Kemudian terapkan

Dalam contoh ini sF(s) memiliki kutub di asal.
Jadi di sini kita juga tidak dapat menerapkan Teorem Nilai Akhir.
Tip Akhir
Cukup periksa apakah sF(s) tidak terbatas atau tidak. Jika tidak terbatas, maka tidak sesuai untuk Teorem Nilai Akhir dan nilai akhir adalah tak terhingga.

Pernyataan: Hormati aslinya, artikel bagus layak dibagikan, jika ada pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk dihapus.