Laplace pārveidojuma galīgās vērtības teorēma ( Pierādījums un piemēri )

Tīklu, tranzitories un sistēmu risinājumos dažreiz mums var nebūt intereses atrast veselu laika funkciju f(t) no tās Laplasa transformācijas F(s), kas ir pieejama risinājuma laikā. Īpaši interesanti ir atklāt, ka mēs varam atrast pirmo vai pēdējo f(t) vērtību vai tās atvasinājumus, nesaņemot visu funkciju f(t). Šajā rakstā mēs būsim ieinteresēti atrast galvenās vērtības un to atvasinājumus.

Kā piemērs:
Ja F(s) ir dota, mēs vēlamies zināt, kāda ir F(∞), nesaņemot funkciju f(t), kas ir inversā Laplasa transformācija, kad t→ ∞. To var izdarīt, izmantojot Laplasa transformācijas īpašību, ko sauc par Beigu vērtības teorēmu. Beigu vērtības teorēma un sākuma vērtības teorēma kopā tiek sauktas par robežteorēmām.

Laplasa transformācijas beigu vērtības teorēmas definīcija

Ja f(t) un f'(t) abas ir Laplasa transformējamās un sF(s) nav poli jw ass un labajā pusē (R.H.P.), tad,

Laplasa transformācijas beigu vērtības teorēmas pierādījums
Mēs zinām Laplasa transformācijas diferencēšanas īpašību:

Piezīme
Šeit ierobežojums 0– tiek izmantots, lai apstrādātu impulsus, kas atrodas t = 0
Tālāk mēs ņemam ierobežojumu, kad s → 0. Tad e-st → 1 un visa vienādojuma izskats ir šāds

Laplasa transformācijas beigu vērtības teorēmas piemēri
Atrast dotā F(s) beigu vērtības, nesaņemot eksplīcitā veidā f(t)

Atbilde


Atbilde

Piezīme
Šeit inversā Laplasa transformācija ir grūta šajā gadījumā. Tomēr mēs vēl joprojām varam atrast beigu vērtību, izmantojot teorēmu.

Atbilde
Piezīme
Piemēros 1 un 2 mēs esam pārbaudījuši arī nosacījumus, bet tie visi tos apmierina. Tāpēc mēs neizrādām tos detalizēti. Bet šeit sF(s) ir pols R.H.P. (labajā pusē), jo saucējā ir pozitīva sakne.
Tāpēc šeit mēs nevaram piemērot Beigu vērtības teorēmu.

Atbilde
Piezīme
Šajā piemērā sF(s) ir poli uz jw ass. Konkrēti +2i un -2i.
Tāpēc šeit mēs nevaram piemērot Beigu vērtības teorēmu arī šajā gadījumā.

Atbilde
Piezīme

Jāatceras punkti:

• Lai piemērotu BVT, mums jānodrošina, ka f(t) un f'(t) ir transformējamās.

• Mums jānodrošina, ka beigu vērtība eksistē. Beigu vērtība neeksistē šādos gadījumos

Ja sF(s) ir poli s plaknes labajā pusē. [Piemērs 3]
Ja sF(s) ir konjugētie poli uz jw ass. [Piemērs 4]
Ja sF(s) ir pols uz sākumpunkta. [Piemērs 5]

• Tad piemērot

Šajā piemērā sF(s) ir pols uz sākumpunkta.
Tāpēc šeit mēs nevaram piemērot Beigu vērtības teorēmu arī šajā gadījumā.
Beigas triks
Vienkārši pārbaudiet, vai sF(s) ir neierobežots vai nē. Ja tas ir neierobežots, tad tam nav piemērota Beigu vērtības teorēma, un beigu vērtība ir vienkārši bezgalīga.

Paziņojums: Cienīt oriģinālo, labus rakstus vērts dalīties, ja ir pārkāpumi, lūdzu, sazinieties, lai dzēstu.