Լապլասի փոխակերպման վերջնական արժեքի թեորեմը (Ապացույց և օրինակներ)

Համակարգերի լուծման ընթացքում անհրաժեշտ չէ միշտ գտնել ամբողջ ֆունկցիան ըստ ժամանակի f(t), որը ստացվում է Լապլասի ձևափոխության F(s) հիման վրա։ Հետաքրքիր է, որ կարող ենք գտնել f(t)-ի կամ դրա ածանցյալների առաջին կամ վերջին արժեքները առանց ամբողջ ֆունկցիայի որոշման։ Այս հոդվածում մենք կհետազոտենք վերջին արժեքները և դրանց ածանցյալները։

Օրինակի համար:
Եթե տրված է F(s), մենք կցանկանանք իմանալ, թե ինչ է F(∞), առանց իմանալու ֆունկցիան ըստ ժամանակի f(t), որը Լապլասի հակադարձ ձևափոխությունն է, երբ t→ ∞։ Սա կարող է կատարվել Լապլասի ձևափոխության վերջին արժեքի թեորեմի օգտագործմամբ։ Վերջին արժեքի և սկզբնական արժեքի թեորեմները միասին կոչվում են սահմանային թեորեմներ։

Լապլասի ձևափոխության վերջին արժեքի թեորեմի սահմանումը

Եթե f(t) և f'(t) երկուսն էլ Լապլասի ձևափոխելի են և sF(s)-ը չունի բևեռներ jw առանցքում և աջ կիսահարթության մեջ (R.H.P.), ապա,

Լապլասի ձևափոխության վերջին արժեքի թեորեմի ապացույցը
Մենք գիտենք Լապլասի ձևափոխության դիֆերենցիալ հատկությունը:

Նշում
Այստեղ սահմանը 0– վերցվում է, որպեսզի հաշվի առնենք t = 0 պահին առկա իմպուլսները:
Այժմ մենք վերցնում ենք սահմանը, երբ s → 0: Այդ դեպքում e-st → 1 և ամբողջ հավասարումը դառնում է հետևյալ պատճառով

Լապլասի ձևափոխության վերջին արժեքի թեորեմի օրինակները
Գտնել տրված F(s)-ի վերջին արժեքները առանց հաշվարկելու հակադարձ ձևափոխությունը ըստ ժամանակի f(t)-ն:

Պատասխան


Պատասխան

Նշում
Այստեղ Լապլասի հակադարձ ձևափոխությունը դժվար է հաշվել, սակայն մենք կարող ենք գտնել վերջին արժեքը թեորեմի օգնությամբ:

Պատասխան
Նշում
Օրինակներ 1 և 2-ում մենք ստուգել ենք պայմանները, սակայն նրանք բոլորը բավարարում են։ Այսպիսով, մենք չենք ցուցադրում դրանք համարժեքորեն։ Բայց այստեղ sF(s)-ը ունի բևեռ աջ կիսահարթության մեջ, քանի որ հայտարարը ունի դրական արմատ։
Այսպիսով, այստեղ մենք չենք կարող կիրառել Վերջին արժեքի թեորեմը։

Պատասխան
Նշում
Այս օրինակում sF(s)-ը ունի բևեռներ jw առանցքում, համարյա +2i և -2i սույն արժեքներ։
Այսպիսով, այստեղ մենք չենք կարող կիրառել Վերջին արժեքի թեորեմը նաև։

Պատասխան
Նշում

Հիշելու համար կետերը.

• Վերջին արժեքի թեորեմը կիրառելու համար պետք է համոզվենք, որ f(t) և f'(t) ձևափոխելի են։

• Պետք է համոզվենք, որ վերջին արժեքը գոյություն ունի։ Վերջին արժեքը չի գոյություն ունենում հետևյալ դեպքերում.

Եթե sF(s)-ը ունի բևեռներ աջ կիսահարթության մեջ [Օրինակ 3]։
Եթե sF(s)-ը ունի համալուծ բևեռներ jw առանցքում [Օրինակ 4]։
Եթե sF(s)-ը ունի բևեռ սկզբնակետում [Օրինակ 5]։

• Ապա կիրառել այն

Այս օրինակում sF(s)-ը ունի բևեռ սկզբնակետում։
Այսպիսով, այստեղ մենք չենք կարող կիրառել Վերջին արժեքի թեորեմը նաև։
Վերջին հուշում
Ապացուցեք, որ sF(s) սահմանափակ է կամ ոչ։ Եթե սահմանափակ չէ, ապա այն պատրաստ չէ