Крајна теорема за вредност во Лапласова трансформација (Доказ и примери)

При решавање на мрежи, преходни состојби и системи понекогаш можеби не сме интересирани да го пронајдеме целата функција на времето f(t) од неговата Лапласова трансформација F(s), која е достапна за решението. Интересно е да се открие дека можеме да најдеме првата или последната вредност на f(t) или нивните изводи без да треба да го пронајдеме целата функција f(t). Во овој чланок ќе се интересираме за пронаоѓање на крајните вредности и нивните изводи.

За пример:
Ако F(s) е дадено, би сакале да знаеме што е F(∞), без да знаме функцијата f(t), која е инверзна Лапласова трансформација, во моментот t→ ∞. Ова може да се направи со користење на својството на Лапласовата трансформација познато како Теорема за крајна вредност. Теоремата за крајна вредност и теоремата за почетна вредност заедно се нарекуваат Теореми за граница.

Дефиниција на Теоремата за крајна вредност на Лапласовата трансформација

Ако f(t) и f'(t) се трансформабилни преку Лаплас и sF(s) нема пол во jw оската и во ДХП (десен халф план), тогаш,

Доказ на Теоремата за крајна вредност на Лапласовата трансформација
Знаеме својството за диференцијација на Лапласовата трансформација:

Напомена
Овде граничната вредност 0– се зема за да се поправат импулсите присутни при t = 0
Сега земаме граница како s → 0. Тогаш e-st → 1 и целата равенка изгледа како

Примери за Теоремата за крајна вредност на Лапласовата трансформација
Најдете крајните вредности на дадената F(s) без да ги пресметувате експлицитно f(t)

Одговор


Одговор

Напомена
Видете дека инверзната Лапласова трансформација е тешка во овој случај. Ипак, можеме да ја најдеме крајната вредност преку теоремата.

Одговор
Напомена
Во Пример 1 и 2 проверивме условите, но ги исполнуваат сите. Затоа се содржиме од покажување експлицитно. Но тука sF(s) има пол во ДХП, бидејќи именилацот има позитивен корен.
Значи, тука не можеме да применуваме Теорема за крајна вредност.

Одговор
Напомена
Во овој пример sF(s) има полovi на jw оската. +2i и -2i специфично.
Значи, тука исто така не можеме да применуваме Теорема за крајна вредност.

Одговор
Напомена

Нешта што треба да се запомнат:

• За примена на ФВТ треба да се увериме дека f(t) и f'(t) се трансформабилни.

• Треба да се увериме дека постои крајна вредност. Крајната вредност не постои во следните случаи

Ако sF(s) има пол во десниот дел од s рамнината. [Пример 3]
Ако sF(s) има конјугирани полови на jw оската. [Пример 4]
Ако sF(s) има пол во потеклото. [Пример 5]

• Тогаш применете

Во овој пример sF(s) има пол во потеклото.
Значи, тука исто така не можеме да применуваме Теорема за крајна вредност.
Крајна трки
Само проверете дали sF(s) е неограничено или не. Ако е неограничено, тогаш не е прифатливо за Теорема за крајна вредност и крајната вредност е бесконечна.

Изјава: Почитувајте оригиналното, добриот чланец вишти да се делат, ако има нарушување на авторските права се јавете за избришување.