Endverdiseteoremet i Laplace-transformasjon (Bevis & Eksempler)

I løsningen av nettverk, overgangstilstander og systemer kan vi noen ganger ikke være interessert i å finne hele tidsfunksjonen f(t) fra dens Laplace-transformasjon F(s), som er tilgjengelig for løsningen. Det er svært interessant å finne at vi kan finne den første verdien eller siste verdien av f(t) eller dens derivater uten å måtte finne hele funksjonen f(t). I denne artikkelen vil vi være interessert i å finne sluttverdier og deres derivater.

For eksempel:
Hvis F(s) er gitt, ønsker vi kanskje å vite hva F(∞) er, uten å kjenne funksjonen f(t), som er invers Laplace-transformasjon, når t→ ∞. Dette kan gjøres ved å bruke egenskapen til Laplace-transformasjon kjent som Final Value Theorem. Final value theorem og initial value theorem kalles sammen for grenseteoremer.

Definisjon av Final Value Theorem for Laplace-transformasjon

Hvis både f(t) og f'(t) er Laplace-transformerbare, og sF(s) har ingen pol på jw-aksen og i R.H.P. (Right half Plane), så,

Bevis for Final Value Theorem for Laplace-transformasjon
Vi vet differensieringsegenskapen til Laplace-transformasjon:

Merknad
Her tas grensen 0– for å ta hensyn til impulser som er til stede ved t = 0
Nå tar vi grensen som s → 0. Da e-st → 1, og hele ligningen ser ut som

Eksempler på Final Value Theorem for Laplace-transformasjon
Finn sluttverdiene for det gitte F(s) uten å beregne f(t) eksplisitt

Svar


Svar

Merknad
Se her at invers Laplace-transformasjon er vanskelig i dette tilfellet. Fortsatt kan vi finne sluttverdien gjennom teoremet.

Svar
Merknad
I Eksempel 1 og 2 har vi sjekket betingelsene, men de oppfyller alle. Så vi unnlater å vise dem eksplisitt. Men her har sF(s) en pol i R.H.P siden nevneren har en positiv rot.
Så, her kan vi ikke bruke Final Value Theorem.

Svar
Merknad
I dette eksemplet har sF(s) poler på jw-aksen, spesielt +2i og -2i.
Så, her kan vi heller ikke bruke Final Value Theorem.

Svar
Merknad

Ting å huske:

• For å bruke FVT må vi sikre oss at f(t) og f'(t) er transformerbare.

• Vi må sikre oss at sluttverdien eksisterer. Sluttverdien eksisterer ikke i følgende tilfeller

Hvis sF(s) har poler på høyre side av s-planen. [Eksempel 3]
Hvis sF(s) har konjugerte poler på jw-aksen. [Eksempel 4]
Hvis sF(s) har pol på origo. [Eksempel 5]

• Deretter bruk

I dette eksemplet har sF(s) pol på origo.
Så her kan vi heller ikke bruke Final Value Theorem.
Sluttføre
Bare sjekk om sF(s) er ubegrenset eller ikke. Hvis ubegrenset, er det ikke egnet for Final Value Theorem, og sluttverdien er bare uendelig.

Erklæring: Respektér den opprinnelige, gode artikler fortjener deling, hvis det er overtredelse, kontakt for sletting.