نظریه مقدار نهایی در تبدیل لاپلاس (برهان و نمونه‌ها)

در حل شبکه ها، ترانزیت ها و سیستم ها، گاهی اوقات ممکن است ما به دنبال یافتن کل تابع زمان f(t) از طریق تبدیل لاپلاس F(s) نباشیم که برای حل در دسترس است. بسیار جالب است که می‌توانیم مقدار اولیه یا نهایی f(t) یا مشتق آن را بدون اینکه نیاز باشد کل تابع f(t) را پیدا کنیم، بدست آوریم. در این مقاله به دنبال یافتن مقادیر نهایی و مشتق آنها خواهیم بود.

به عنوان مثال:
اگر F(s) داده شده باشد، می‌خواهیم بدانیم F(∞) چیست، بدون اینکه تابع f(t) را که تبدیل معکوس لاپلاس است، در زمان t→ ∞ بدانیم. این کار می‌تواند با استفاده از خاصیت تبدیل لاپلاس که به عنوان قضیه مقدار نهایی شناخته می‌شود، انجام شود. قضیه مقدار نهایی و قضیه مقدار اولیه به طور کلی قضایای حدی نامیده می‌شوند.

تعریف قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس

اگر f(t) و f'(t) هر دو قابل تبدیل لاپلاس باشند و sF(s) هیچ قطبی در محور jw و در نیمه صفحه راست (R.H.P) نداشته باشد، آنگاه

اثبات قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس
ما می‌دانیم خاصیت مشتق گیری تبدیل لاپلاس:

توجه
اینجا حد 0– برای مدیریت ضربه‌های موجود در t = 0 در نظر گرفته می‌شود.
حالا ما حد را وقتی s → 0 در نظر می‌گیریم. آنگاه e-st → 1 و کل معادله به این شکل خواهد بود

مثال‌های قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس
مقادیر نهایی F(s) داده شده را بدون محاسبه دقیق f(t) پیدا کنید

پاسخ


پاسخ

توجه
در اینجا تبدیل معکوس لاپلاس دشوار است. با این حال می‌توانیم مقدار نهایی را از طریق قضیه بدست آوریم.

پاسخ
توجه
در مثال ۱ و ۲ ما شرایط را چک کردیم اما آنها همه را برآورده می‌کنند. بنابراین ما خودداری می‌کنیم از نشان دادن به طور صریح. اما در اینجا sF(s) قطبی در نیمه صفحه راست (R.H.P) دارد زیرا مخرج دارای ریشه مثبتی است.
بنابراین، در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.

پاسخ
توجه
در این مثال sF(s) قطب‌هایی در محور jw دارد. به طور خاص +2i و -2i.
بنابراین، در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.

پاسخ
توجه

نکاتی که باید به یاد داشته باشید:

• برای اعمال FVT باید مطمئن شویم که f(t) و f'(t) قابل تبدیل هستند.

• باید مطمئن شویم که مقدار نهایی وجود دارد. مقدار نهایی در موارد زیر وجود ندارد

اگر sF(s) قطب‌هایی در سمت راست صفحه s داشته باشد. [مثال ۳]
اگر sF(s) قطب‌های مزدوج در محور jw داشته باشد. [مثال ۴]
اگر sF(s) قطبی در مبدا داشته باشد. [مثال ۵]

• سپس اعمال کنید

در این مثال sF(s) قطبی در مبدا دارد.
بنابراین در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.
ریاضی نهایی
فقط بررسی کنید که sF(s) محدود یا نامحدود است. اگر نامحدود باشد، آنگاه مناسب برای قضیه مقدار نهایی نیست و مقدار نهایی به سادگی بی‌نهایت است.

بیانیه: احترام به متن اصلی، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاشتن را دارند، اگر نقض حق تکثیر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.