Laplace Transform ನಲ್ಲಿನ Final Value Theorem (ಸಂದೇಶ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು)

ವೃತ್ತಿಕ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳು, ಅತೀತದ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಚಾಲಿತ ಸಮಯದ ಫಂಕ್ಷನ್ f(t) ನ್ನು ಅದರ Laplace Transform F(s) ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, f(t) ಅಥವಾ ಅದರ ವಿಭೇದಗಳ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಫಂಕ್ಷನ್ f(t) ನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳದೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಭೇದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
F(s) ದತ್ತವಾದರೆ, ನಾವು ಅದರ Inverse Laplace Transformation ಅಥವಾ f(t) ತಿಳಿದಿಲ್ಲದೆ, t→ ∞ ರಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು Laplace Transform ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾದ Final Value Theorem ನ ಮೂಲಕ ಮಾಡಬಹುದು. Final value theorem ಮತ್ತು initial value theorem ಕೂಡ ಒಟ್ಟಿಗೆ Limiting Theorems ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ.

Laplace Transform ಯಲ್ಲಿನ Final Value Theorem ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

f(t) ಮತ್ತು f'(t) ಎರಡೂ Laplace Transformable ಮತ್ತು sF(s) ಯಲ್ಲಿ jw ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು R.H.P (Right half Plane) ಯಲ್ಲಿ ಪೋಲ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ,

Laplace Transform ಯಲ್ಲಿನ Final Value Theorem ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪುರಾವೆ
ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ Laplace Transformation ನ ವಿಭೇದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ:

ನೋಟ
ಇಲ್ಲಿ 0– ಗಣಿತದ ಮಿತಿಯನ್ನು t = 0 ರಲ್ಲಿ ಉಳಿದುಕೊಂಡ ಪ್ರವೇಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ
ಈಗ ನಾವು s → 0 ರ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ e-st → 1 ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ

Laplace Transform ಯಲ್ಲಿನ Final Value Theorem ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ f(t) ನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ನೀಡಿದ F(s) ಗಳ ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ

ಉತ್ತರ


ಉತ್ತರ

ನೋಟ
ಇಲ್ಲಿ Inverse Laplace Transform ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದರಿಂದ ಹೀಗೆ ನಾವು ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು Theorem ನ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉತ್ತರ
ನೋಟ
ಉದಾಹರಣೆ 1 ಮತ್ತು 2 ಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಶರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಎಲ್ಲ ಶರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ sF(s) ಯಲ್ಲಿ R.H.P ಯಲ್ಲಿ ಪೋಲ್ ಇದೆ, ಕೆಳಗಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು Final Value Theorem ನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ
ನೋಟ
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ sF(s) ಯಲ್ಲಿ jw ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಪೋಲ್ ಇದೆ. +2i ಮತ್ತು -2i ವಿಶೇಷವಾಗಿ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು Final Value Theorem ನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ
ನೋಟ

ನೆಂದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಪ್ರಮುಖ ಪಾರ್ಶ್ವಗಳು:

• FVT ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ f(t) ಮತ್ತು f'(t) ರೆಂದು ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫೋರ್ಮೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದೇನೆಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಬೇಕು.

• ನಾವು ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೇಷ ಮೌಲ್ಯವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ

sF(s) ಯಲ್ಲಿ ಡೈಟ್ ಸಮತಲದ ಬಲ ಹಾಗೆ ಪೋಲ್ ಇದೆ. [ಉದಾಹರಣೆ 3]
sF(s) ಯಲ್ಲಿ jw ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿ ಪೋಲ್ ಇದೆ. [ಉದಾಹರಣೆ 4]
sF(s) ಯಲ್ಲಿ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಪೋಲ್ ಇದೆ. [ಉದಾಹರಣೆ 5]

• ನಂತರ ಅನ್ವಯಿಸಿ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ sF(s) ಯಲ್ಲಿ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಪೋಲ್ ಇದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿ ನಾವು Final Value Theorem ನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಿಲ್ಲ.