قضیه مقدار نهایی در تبدیل لاپلاس (اثبات و مثال‌ها)

در حل شبکه‌ها، حالت‌های گذرا و سیستم‌ها، گاهی اوقات ممکن است ما به دنبال یافتن کل تابع زمان f(t) از طریق تبدیل لاپلاس F(s) که برای حل موجود است، نباشیم. بسیار جالب است که بتوانیم مقدار اولیه یا نهایی f(t) یا مشتقات آن را بدون یافتن کل تابع f(t) پیدا کنیم. در این مقاله به یافتن مقادیر نهایی و مشتقات آن علاقمند خواهیم شد.

به عنوان مثال:
اگر F(s) داده شده باشد، می‌خواهیم بدانیم F(∞) چقدر است، بدون اینکه تابع f(t) را که معکوس تبدیل لاپلاس است، در زمان t→ ∞ بدانیم. این کار می‌تواند با استفاده از ویژگی تبدیل لاپلاس که به نام قضیه مقدار نهایی شناخته می‌شود، انجام شود. قضیه مقدار نهایی و قضیه مقدار اولیه به صورت کلی قضایای حدی نامیده می‌شوند.

تعریف قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس

اگر f(t) و f'(t) هر دو قابل تبدیل لاپلاس باشند و sF(s) هیچ قطبی در محور jw و در نیمه صفحه راست (R.H.P) نداشته باشد، آنگاه:

اثبات قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس
ما می‌دانیم که ویژگی مشتق‌گیری تبدیل لاپلاس:

نکته
در اینجا حد 0– برای مدیریت ضربه‌های موجود در t = 0 در نظر گرفته می‌شود.
حالا ما حد را وقتی s → 0 در نظر می‌گیریم. آنگاه e-st → 1 و کل معادله به صورت زیر خواهد بود:

مثال‌های قضیه مقدار نهایی تبدیل لاپلاس
مقدار نهایی F(s) داده شده را بدون محاسبه صریح f(t) پیدا کنید:

پاسخ


پاسخ

نکته
در اینجا معکوس تبدیل لاپلاس دشوار است. با این حال می‌توانیم مقدار نهایی را از طریق قضیه پیدا کنیم.

پاسخ
نکته
در مثال ۱ و ۲ شرایط را بررسی کردیم ولی آنها تمام شرایط را برآورده می‌کنند. بنابراین ما از نشان دادن صریح خودداری می‌کنیم. اما در اینجا sF(s) یک قطب در نیمه صفحه راست (R.H.P) دارد زیرا مخرج یک ریشه مثبت دارد.
بنابراین، در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.

پاسخ
نکته
در این مثال sF(s) قطب‌هایی روی محور jw دارد. به طور خاص +2i و -2i.
بنابراین، در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.

پاسخ
نکته

نکات مهم:

• برای استفاده از قضیه مقدار نهایی باید مطمئن شویم که f(t) و f'(t) قابل تبدیل هستند.

• باید مطمئن شویم که مقدار نهایی وجود دارد. مقدار نهایی در موارد زیر وجود ندارد:

اگر sF(s) قطب‌هایی در سمت راست صفحه s داشته باشد. [مثال ۳]
اگر sF(s) قطب‌های مزدوج روی محور jw داشته باشد. [مثال ۴]
اگر sF(s) قطبی در مبدا داشته باشد. [مثال ۵]

• سپس اعمال کنید

در این مثال sF(s) یک قطب در مبدا دارد.
بنابراین در اینجا نمی‌توانیم قضیه مقدار نهایی را اعمال کنیم.
حیله نهایی
فقط بررسی کنید که sF(s) محدود است یا نه. اگر نامحدود باشد، آنگاه مناسب برای قضیه مقدار نهایی نیست و مقدار نهایی به سادگی بی‌نهایت است.

بیانیه: محتوای اصلی را احترام بگذارید، مقالات خوبی که ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر نقض حق تکثیر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.