Laplace Dönüşümünde Son Değer Teoremi (İspat ve Örnekler)

Ağlar, geçici durumlar ve sistemlerin çözümünde bazen zaman fonksiyonu f(t)'nin tamamını bulmaktan ziyade, Laplace Dönüşümü F(s)'den f(t) veya türevlerinin ilk veya son değerini bulmak ilgi çekici olabilir. Bu makalede, f(t) ve türevlerinin son değerlerini bulmaya odaklanacağız.

Örneğin:
Eğer F(s) verilirse, f(t) fonksiyonunu bilmeden, t → ∞ olduğunda F(∞) değerini bulmak isteyebiliriz. Bunu, Laplace Dönüşümünün bir özelliği olan Son Değer Teoremi kullanarak yapabiliriz. Son değer teoremi ve başlangıç değer teoremi, Sınır Teoremleri olarak adlandırılır.

Laplace Dönüşümünün Son Değer Teoreminin Tanımı

Eğer f(t) ve f'(t) her ikisi de Laplace Dönüşümüne uysa ve sF(s)'in jw ekseninde ve R.H.P. (Sağ Yarı Düzlem) içinde hiç kutupu yoksa, o zaman,

Laplace Dönüşümünün Son Değer Teoreminin Kanıtı
Laplace Dönüşümünün diferansiyasyon özelliğini biliyoruz:

Not
Burada limit 0–, t = 0'daki dürtülerin hesaba katılmasını sağlar.
Şimdi s → 0 limitini alalım. O zaman e-st → 1 ve tüm denklem şu şekilde görünür:

Laplace Dönüşümünün Son Değer Teoreminin Örnekleri
F(s)'nin verilen değerlerine karşılık gelen f(t) fonksiyonlarını açıkça hesaplamadan, son değerlerini bulun.

Cevap


Cevap

Not
Burada Ters Laplace Dönüşümünü hesaplamak zor olabilir. Ancak yine de Son Değer Teoremi ile son değeri bulabiliriz.

Cevap
Not
Örnek 1 ve 2'de koşulları kontrol ettik, ancak hepsi sağlanıyor. Bu nedenle, bunları açıkça göstermekten kaçınıyoruz. Ancak burada sF(s)'in R.H.P (Sağ Yarı Düzlem) üzerinde bir kutbu var çünkü payda pozitif bir köke sahip.
Bu nedenle, burada Son Değer Teoremi uygulanamaz.

Cevap
Not
Bu örnekte sF(s)'in jw ekseninde kutupları var. +2i ve -2i özel olarak.
Bu nedenle, burada da Son Değer Teoremi uygulanamaz.

Cevap
Not

Hatırlanması gereken noktalar:

• Son Değer Teoremi'ni uygulamak için f(t) ve f'(t)'nin dönüştürülebilir olması gerekmektedir.

• Son değerin var olduğundan emin olmalıyız. Aşağıdaki durumlarda son değer mevcut değildir:

Eğer sF(s)'in s düzleminin sağ tarafında kutupları varsa. [Örnek 3]
Eğer sF(s)'in jw ekseninde eşlenik kutupları varsa. [Örnek 4]
Eğer sF(s)'in orijin üzerinde kutbu varsa. [Örnek 5]

• Sonra uygula

Bu örnekte sF(s)'in orijin üzerinde kutbu var.
Bu nedenle, burada da Son Değer Teoremi uygulanamaz.
Son İpucu
Sadece sF(s)'in sınırlı olup olmadığını kontrol edin. Eğer sınırsız ise, Son Değer Teoremi için uygun değil ve son değer basitçe sonsuzdur.

Bildiri: Özgün metni saygı gösterin, paylaşmaya değer iyi makalelerdir, telif hakkı ihlali varsa lütfen silme talebinde bulunun.