Twierdzenie o wartości końcowej w przekształceniu Laplace'a (Dowód i przykłady)

W rozwiązywaniu sieci, przejściowych stanów i systemów czasami nie interesuje nas znalezienie pełnej funkcji czasowej f(t) na podstawie jej transformaty Laplace'a F(s), która jest dostępna do rozwiązania. Bardzo interesujące jest to, że możemy znaleźć pierwszą wartość lub ostatnią wartość f(t) lub jej pochodnych, bez konieczności znalezienia całej funkcji f(t). W tym artykule skupimy się na znajdowaniu wartości końcowych i ich pochodnych.

Na przykład:
Jeśli dana jest F(s), chciałoby nam się wiedzieć, co to jest F(∞), bez znamienności funkcji f(t), która jest odwrotną transformatą Laplace'a, przy t→ ∞. Można to zrobić, korzystając z właściwości transformaty Laplace'a znanego jako twierdzenie o wartości końcowej. Twierdzenie o wartości początkowej i twierdzenie o wartości końcowej są razem nazywane twierdzeniami granicznymi.

Definicja twierdzenia o wartości końcowej transformaty Laplace'a

Jeśli f(t) i f'(t) są obie transformowalne przez transformatę Laplace'a i sF(s) nie ma biegunów na osi urojonej jw ani w prawej półpłaszczyźnie (R.H.P.), to,

Dowód twierdzenia o wartości końcowej transformaty Laplace'a
Wiemy, że własność różniczkowania transformaty Laplace'a:

Uwaga
Tutaj granica 0– jest brana pod uwagę impulsów obecnych w t = 0
Teraz bierzemy granicę, gdy s → 0. Wtedy e-st → 1 i całe równanie wygląda tak

Przykłady twierdzenia o wartości końcowej transformaty Laplace'a
Znajdź wartości końcowe podanych F(s) bez obliczania jawnie f(t)

Odpowiedź


Odpowiedź

Uwaga
Zauważ, że odwrotna transformata Laplace'a jest trudna w tym przypadku. Mimo to możemy znaleźć wartość końcową poprzez twierdzenie.

Odpowiedź
Uwaga
W Przykładach 1 i 2 sprawdziliśmy warunki, ale spełniają one wszystkie. Dlatego nie pokazujemy tego jawnie. Ale tutaj sF(s) ma biegun w prawej półpłaszczyźnie, ponieważ mianownik ma dodatni pierwiastek.
Więc, tutaj nie możemy zastosować twierdzenia o wartości końcowej.

Odpowiedź
Uwaga
W tym przykładzie sF(s) ma bieguny na osi urojonej jw, konkretnie +2i i -2i.
Więc, tutaj nie możemy zastosować twierdzenia o wartości końcowej również.

Odpowiedź
Uwaga

Pamiętaj:

• Aby zastosować twierdzenie o wartości końcowej, musimy upewnić się, że f(t) i f'(t) są transformowalne.

• Musimy upewnić się, że wartość końcowa istnieje. Wartość końcowa nie istnieje w następujących przypadkach

Jeśli sF(s) ma bieguny w prawej półpłaszczyźnie s. [Przykład 3]
Jeśli sF(s) ma sprzężone bieguny na osi urojonej jw. [Przykład 4]
Jeśli sF(s) ma biegun w początku układu współrzędnych. [Przykład 5]

• Następnie zastosuj

W tym przykładzie sF(s) ma biegun w początku układu współrzędnych.
Więc, tutaj nie możemy zastosować twierdzenia o wartości końcowej również.
Końcowy trik
Po prostu sprawdź, czy sF(s) jest nieograniczone. Jeśli jest nieograniczone, to nie nadaje się do twierdzenia o wartości końcowej, a wartość końcowa jest po prostu nieskończona.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są warte dzielenia się, jeśli występuje naruszenie praw autorskich, prosimy o kontakt w celu usunięcia.