लाप्लास रुपान्तरमा अन्तिम मान प्रमेय (प्रमाण र उदाहरणहरू)

जालसंयोजन, ट्रान्सिएन्ट र सिस्टमहरूको समाधानमा केही बेला हामी लाप्लास रूपान्तर F(s) दिइएको समाधानबाट पूर्ण समय फलन f(t) पत्ता लगाउने माथि रुचाउँदैन। यो धेरै रुचाउने छ कि हामी पूर्ण फलन f(t) पत्ता लगाउन बिना f(t) वा उसको डेरिवेटिभहरूको पहिलो मान वा अन्तिम मान पत्ता लगाउन सक्छौं। यस लेखमा हामी अन्तिम मान र उसको डेरिवेटिभहरू पत्ता लगाउन मनपर्नेछौं।

उदाहरणका लागि:
यदि F(s) दिइएको छ, तब हामीले t→ ∞ जहाँ इन्वर्स लाप्लास रूपान्तर f(t) पत्ता लगाउन बिना F(∞) पत्ता लगाउन चाहेको छ। यो लाप्लास रूपान्तरको गुणधर्म अन्तिम मान प्रमेयको प्रयोग गरेर गरिन सकिन्छ। अन्तिम मान प्रमेय र प्रारम्भिक मान प्रमेय दुवैले लिमिटिङ्ग प्रमेयहरू भनिन्छन्।

लाप्लास रूपान्तरको अन्तिम मान प्रमेयको परिभाषा

यदि f(t) र f'(t) दुवै लाप्लास रूपान्तरयोग्य छन् र sF(s) jw अक्ष र R.H.P. (Right half Plane) मा कुनै पोल छैन भने,

लाप्लास रूपान्तरको अन्तिम मान प्रमेयको प्रमाण
हामीले लाप्लास रूपान्तरको डिफरेन्सिएशन गुणधर्म जान्छौं:

नोट
यहाँ 0– लिमिट लिएको छ t = 0 मा उपस्थित इम्पल्सहरूको ध्यान दिनका लागि
अब हामी s → 0 को लिमिट लिन्छौं। तब e-st → 1 र सबै बाटो यसरी देखिन्छ

लाप्लास रूपान्तरको अन्तिम मान प्रमेयको उदाहरणहरू
फलन f(t) निकाल्न बिना दिइएको F(s) को अन्तिम मान पत्ता लगाउनुहोस्

उत्तर


उत्तर

नोट
यहाँ इन्वर्स लाप्लास रूपान्तर यो उदाहरणमा कठिन छ। तथापि थिओरमको प्रयोग गरेर हामी अन्तिम मान पत्ता लगाउन सक्छौं।

उत्तर
नोट
उदाहरण १ र २ मा हामीले स्थितिहरू परीक्षा गरेका थिए तर उनीहरू सबै सन्तुष्ट गर्छन्। त्यसैले हामीले यसलाई विशेष रूपमा देखाउन बाटेका छैन। तर यहाँ sF(s) R.H.P. मा एक पोल छ किनकि छोडामा एक सकारात्मक मूल छ।
त्यसैले, यहाँ अन्तिम मान प्रमेय लागू गर्न सकिँदैन।

उत्तर
नोट
यहाँ sF(s) jw अक्षमा +2i र -2i विशेष रूपमा पोलहरू छन्।
त्यसैले, यहाँ अन्तिम मान प्रमेय लागू गर्न सकिँदैन।

उत्तर
नोट

याद राख्नुपर्ने बिन्दुहरू:

• FVT लागू गर्न f(t) र f'(t) रूपान्तरयोग्य हुनुपर्छ।

• हामीले अन्तिम मान अस्तित्वमा ध्यान दिनुपर्छ। निम्न अवस्थामा अन्तिम मान अस्तित्वमा छैन

यदि sF(s) s तलको दाई भागमा पोलहरू छन्। [उदाहरण ३]
यदि sF(s) jw अक्षमा संयुग्मित पोलहरू छन्। [उदाहरण ४]
यदि sF(s) मूलमा पोल छ। [उदाहरण ५]

• त्यसपछि लागू गर्नुहोस्

यहाँ sF(s) मूलमा पोल छ।
त्यसैले यहाँ अन्तिम मान प्रमेय लागू गर्न सकिँदैन।
अन्तिम टिप
सिर्जना गर्न sF(s) असीमित छ कि छैन यो जाँच गर्नुहोस्। यदि असीमित छ भने, यो अन्तिम मान प्रमेयको लागि उपयुक्त छैन र अन्तिम मान सिम्पली अनन्त हुन्छ।

थिच्याउँ: मूल स्रोतलाई सम्मान गर्नुहोस्, राम्रो लेखहरू साझा गर्न मान्य हुन्छ, यदि कॉपीराइट उल्लंघन भएको छ भने कृपया हटाउन संपर्क गर्नुहोस्।