Laplace Aylantma teoriyasidagi oxirgi qiymat teoremasi (Isbot & Misollar)

Tarmoqlar, transiente va sistemalar yechimlari bo'lganda, bazarda f(t) funksiyasini to'liq aniqlashdan so'ng, uning Laplas transformatsiyasi F(s) orqali boshqa ma'lumotlar talab qilinmaydi. F(t) yoki uning hosilalarining birinchi yoki oxirgi qiymatlarini, butun funksiya f(t) ni topishsiz topish juda qiziqarli. Bu maqolada biz f(t) ning oxirgi qiymatlarini va uning hosilalarini topishga qiziqamiz.

Misolda:
Agar F(s) berilgan bo'lsa, biz f(t) funksiyasini (t→∞ da invers Laplas transformatsiyasi) bilmasdan F(∞) ni bilmoqchimiz. Bu, Laplas transformatsiyasining Final Value Theorem xususiyatidan foydalanib amalga oshirilishi mumkin. Final value theorem va initial value theorem Limiting Theorems deb ataladi.

Laplas transformatsiyasi uchun Final Value Theorem tushunchasi

Agar f(t) va f'(t) ikkalasi ham Laplas transformatsiya qilinadigan va sF(s) jw o'qida va R.H.P. (Right half Plane) da poli bo'lmasa, unda,

Laplas transformatsiyasi uchun Final Value Theorem isboti
Laplas transformatsiyasining differentsial xususiyatini bilamiz:

Eslatma
Bu yerda chek 0– t = 0 da mavjud bo'lgan impulsni hisobga olish uchun olindi.
Endi s → 0 ga chek olamiz. Unda e-st → 1 va butun tenglama quyidagicha ko'rinadi

Laplas transformatsiyasi uchun Final Value Theorem misollar
Berilgan F(s) ning oxirgi qiymatlarini f(t) ni hisoblashsiz toping

Javob


Javob

Eslatma
Bu misolda Invers Laplas transformatsiyasi qiyin. Lekin hali ham Teorema orqali Oxirgi Qiymatni topa olamiz.

Javob
Eslatma
Misollar 1 va 2 da shartlarni tekshirdik, ammo ularning barchasi qanoatlantirildi. Shuning uchun biz uni eksplisit ko'rinishda ko'rsatmaymiz. Lekin bu erda sF(s) ning R.H.P (Right half Plane) da musbat ildizga ega bo'lgan poli bor.
Shunday qilib, bu erda Final Value Theorem ni qo'llab bo'lmaydi.

Javob
Eslatma
Ushbu misolda sF(s) ning jw o'qida +2i va -2i poli bor.
Shunday qilib, bu erda Final Value Theorem ni ham qo'llab bo'lmaydi.

Javob
Eslatma

Yodda qolish uchun nukta:

• FVT ni qo'llash uchun f(t) va f'(t) transformatsiya qilinadiganligiga ishonch hosil qilish kerak.

• Oxirgi qiymat mavjudligiga ishonch hosil qilish kerak. Quyidagi holatlarda oxirgi qiymat mavjud emas

Agar sF(s) s tekisligining o'ng tomonida poli bo'lsa. [Misollar 3]
Agar sF(s) jw o'qida konjugatsiya poli bo'lsa. [Misollar 4]
Agar sF(s) boshlang'ich nuqtada poli bo'lsa. [Misollar 5]

• Keyin qo'llang

Bu misolda sF(s) ning boshlang'ich nuqtada poli bor.
Shunday qilib, bu erda Final Value Theorem ni ham qo'llab bo'lmaydi.
Oxirgi truk
Faqat sF(s) cheksiz bo'lganini tekshiring. Agar cheksiz bo'lsa, u Final Value Theorem uchun mos kelmaydi va oxirgi qiymat sodda ravishda cheksiz bo'ladi.

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.