Конечна теорема в преобразуването на Лаплас (Доказателство и примери)

В решаването на мрежи, преходни процеси и системи понякога може да не сме заинтересовани да намерим цялата функция на времето f(t) от нейното Лапласово преобразуване F(s), което е налично за решението. Е много интересно да установим, че можем да намерим първата или последната стойност на f(t) или нейните производни, без да трябва да намерим цялата функция f(t). В тази статия ще се интересуваме от намирането на финални стойности и техните производни.

За пример:
Ако F(s) е дадено, бихме искали да знаем какво е F(∞), без да знаем функцията f(t), която е обратно Лапласово преобразуване, при t→ ∞. Това може да се направи, използвайки свойството на Лапласовото преобразуване, известно като Финална теорема. Финалната теорема и началната теорема се наричат обща Теореми за граници.

Дефиниция на Финалната теорема на Лапласовото преобразуване

Ако f(t) и f'(t) са преобразуеми чрез Лапласово преобразуване и sF(s) няма полюси върху оста jw и в Правата половина (R.H.P.), то,

Доказателство на Финалната теорема на Лапласовото преобразуване
Знаем свойството за диференциация на Лапласовото преобразуване:

Бележка
Тук границата 0– се взема, за да се учестят импулсите, присъстващи при t = 0
Сега вземаме границата като s → 0. Тогава e-st → 1 и цялото уравнение изглежда така:

Примери за Финалната теорема на Лапласовото преобразуване
Намерете финалните стойности на даденото F(s) без да изчислявате явно f(t)

Отговор


Отговор

Бележка
Вижте тук, че обратното Лапласово преобразуване е трудно в този случай. Все пак, все още можем да намерим финалната стойност чрез теоремата.

Отговор
Бележка
В Пример 1 и 2 сме проверили условията, но те ги удовлетворяват всички. Затова се въздържаме да ги показваме явно. Но тук sF(s) има полюс в Правата половина, тъй като знаменателят има положителен корен.
Затова, тук не можем да приложим Финална теорема.

Отговор
Бележка
В този пример sF(s) има полюси на оста jw. Конкретно +2i и -2i.
Затова, тук не можем да приложим Финална теорема също.

Отговор
Бележка

Неща, които трябва да запомните:

• За прилагане на Финалната теорема трябва да сме сигурни, че f(t) и f'(t) са преобразуеми.

• Трябва да сме сигурни, че финалната стойност съществува. Финалната стойност не съществува в следните случаи:

Ако sF(s) има полюси в дясната част на s-плана. [Пример 3]
Ако sF(s) има конюгирани полюси на оста jw. [Пример 4]
Ако sF(s) има полюс в началото. [Пример 5]

• После приложете

В този пример sF(s) има полюс в началото.
Затова, тук не можем да приложим Финалната теорема също.
Финален трик
Просто проверете дали sF(s) е неограничено или не. Ако е неограничено, то не е подходящо за Финална теорема и финалната стойност е просто безкрайна.

Изявление: Уважавайте оригинала, добри статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на правата, моля се обратете за изтриване.