লাপ্লাস ট্রান্সফরমে ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম (প্রমাণ ও উদাহরণ)

নেটওয়ার্ক, ট্রানসিয়েন্ট এবং সিস্টেমের সমাধানে কখনও কখনও আমরা লাপলাস ট্রান্সফর্ম F(s) থেকে সম্পূর্ণ ফাংশন f(t) খুঁজতে আগ্রহী হই না। এটি খুব আকর্ষণীয় যে, আমরা f(t) বা তার ডেরিভেটিভের প্রথম বা শেষ মান খুঁজতে পারি ছাড়াই সম্পূর্ণ ফাংশন f(t) খুঁজতে হলে না। এই নিবন্ধে আমরা শেষ মান এবং তার ডেরিভেটিভ খুঁজতে আগ্রহী হব।

উদাহরণ:
যদি F(s) দেওয়া হয়, তাহলে আমরা জানতে চাই যে F(∞) কত, ছাড়াই ফাংশন f(t) জানার প্রয়োজন ছাড়াই, যা লাপলাস ট্রান্সফর্মের ইনভার্স, t→ ∞ সময়ে। এটি লাপলাস ট্রান্সফর্মের একটি বৈশিষ্ট্য ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম ব্যবহার করে করা যায়। ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম এবং আন্তঃমূল্য থিওরেম একসাথে লিমিটিং থিওরেম নামে পরিচিত।

লাপলাস ট্রান্সফর্মের ফাইনাল ভ্যালু থিওরেমের সংজ্ঞা

যদি f(t) এবং f'(t) উভয়ই লাপলাস ট্রান্সফর্মের উপযোগী হয় এবং sF(s) এর jw অক্ষ এবং R.H.P. (ডান অর্ধতল) এ কোন পোল না থাকে, তাহলে,

লাপলাস ট্রান্সফর্মের ফাইনাল ভ্যালু থিওরেমের প্রমাণ
আমরা জানি লাপলাস ট্রান্সফর্মের ডিফারেন্সিয়েশন বৈশিষ্ট্য:

নোট
এখানে লিমিট 0– নেওয়া হয় t = 0 এ উপস্থিত ইমপালস গুলি নিয়ন্ত্রণ করার জন্য
এখন আমরা সীমা হিসাবে s → 0 নেই। তাহলে e-st → 1 এবং সম্পূর্ণ সমীকরণ দেখতে হয়

লাপলাস ট্রান্সফর্মের ফাইনাল ভ্যালু থিওরেমের উদাহরণ
f(t) না হিসাব করে F(s) এর ফাইনাল মান খুঁজুন

উত্তর


উত্তর

নোট
এখানে ইনভার্স লাপলাস ট্রান্সফর্ম কঠিন। তবুও আমরা থিওরেম দিয়ে ফাইনাল মান খুঁজতে পারি।

উত্তর
নোট
উদাহরণ 1 এবং 2 এ আমরা শর্তগুলি পরীক্ষা করেছি, কিন্তু সবগুলি পূরণ করেছে। তাই আমরা স্পষ্টভাবে দেখাই না। কিন্তু এখানে sF(s) এর R.H.P-তে একটি পোল রয়েছে কারণ হরে একটি ধনাত্মক মূল রয়েছে।
তাই, এখানে আমরা ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম প্রয়োগ করতে পারি না।

উত্তর
নোট
এই উদাহরণে sF(s) এর jw অক্ষে +2i এবং -2i স্পেসিফিক পোল রয়েছে।
তাই, এখানে আমরা ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম প্রয়োগ করতে পারি না।

উত্তর
নোট

মনে রাখার বিষয়:

• FVT প্রয়োগ করার জন্য আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে f(t) এবং f'(t) ট্রান্সফর্মেবল।

• আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে ফাইনাল মান বিদ্যমান। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে ফাইনাল মান বিদ্যমান নয়

sF(s) এর ডান দিকে পোল থাকলে। [উদাহরণ 3]
sF(s) এর jw অক্ষে কনজুগেট পোল থাকলে। [উদাহরণ 4]
sF(s) এর মূল বিন্দুতে পোল থাকলে। [উদাহরণ 5]

• তাহলে প্রয়োগ করুন

এই উদাহরণে sF(s) এর মূল বিন্দুতে পোল রয়েছে।
তাই এখানে আমরা ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম প্রয়োগ করতে পারি না।
ফাইনাল ট্রিক
শুধু যাচাই করুন যে sF(s) সীমাবদ্ধ কিনা। যদি সীমাবদ্ধ না হয়, তাহলে এটি ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম এর জন্য উপযোগী নয় এবং ফাইনাল মান অসীম।