Teorema del Valore Finale nella Trasformata di Laplace (Dimostrazione ed Esempi)

Nella soluzione di reti, transitori e sistemi, a volte potremmo non essere interessati a trovare l'intera funzione del tempo f(t) dalla sua trasformata di Laplace F(s), che è disponibile per la soluzione. È molto interessante scoprire che possiamo trovare il primo valore o l'ultimo valore di f(t) o delle sue derivate senza dover determinare l'intera funzione f(t). In questo articolo ci interesseremo a trovare i valori finali e le loro derivate.

Per esempio:
Se F(s) è dato, vorremmo sapere qual è F(∞), senza conoscere la funzione f(t), che è la trasformata inversa di Laplace, al tempo t→ ∞. Questo può essere fatto utilizzando la proprietà della trasformata di Laplace nota come Teorema del valore finale. Il teorema del valore finale e il teorema del valore iniziale sono insieme chiamati Teoremi Limite.

Definizione del Teorema del valore finale della trasformata di Laplace

Se f(t) e f'(t) sono entrambe trasformabili in Laplace e sF(s) non ha poli sull'asse jω e nel semipiano destro (R.H.P.), allora,

Dimostrazione del Teorema del valore finale della trasformata di Laplace
Sappiamo la proprietà di differenziazione della trasformazione di Laplace:

Nota
Qui il limite 0– è preso per tenere conto degli impulsi presenti a t = 0
Ora prendiamo il limite per s → 0. Quindi e-st → 1 e l'equazione completa appare come

Esempi del Teorema del valore finale della trasformata di Laplace
Trovare i valori finali dei dati F(s) senza calcolare esplicitamente f(t)

Risposta


Risposta

Nota
Vedi qui, la trasformata inversa di Laplace è difficile in questo caso. Tuttavia, possiamo ancora trovare il valore finale attraverso il teorema.

Risposta
Nota
Nel primo e secondo esempio abbiamo verificato le condizioni, ma le soddisfano tutte. Quindi ci asteniamo dal mostrarle esplicitamente. Ma qui sF(s) ha un polo nel semipiano destro poiché il denominatore ha una radice positiva.
Quindi, qui non possiamo applicare il Teorema del valore finale.

Risposta
Nota
In questo esempio sF(s) ha poli sull'asse jω. Specificamente +2i e -2i.
Quindi, qui non possiamo applicare il Teorema del valore finale neanche in questo caso.

Risposta
Nota

Punti da ricordare:

• Per applicare il teorema del valore finale, dobbiamo assicurarci che f(t) e f'(t) siano trasformabili.

• Dobbiamo assicurarci che il valore finale esista. Il valore finale non esiste nei seguenti casi

Se sF(s) ha poli sul lato destro del piano s. [Esempio 3]
Se sF(s) ha poli coniugati sull'asse jω. [Esempio 4]
Se sF(s) ha un polo all'origine. [Esempio 5]

• Quindi applicare

In questo esempio sF(s) ha un polo all'origine.
Quindi qui non possiamo applicare il Teorema del valore finale neanche in questo caso.
Trucco finale
Controlla semplicemente se sF(s) è illimitato o no. Se è illimitato, allora non è adatto per il Teorema del valore finale e il valore finale è semplicemente infinito.

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