Teorema Nilai Akhir dalam Transformasi Laplace (Bukti & Contoh)

Dalam penyelesaian Jaringan, Transien, dan Sistem, terkadang kita mungkin tidak tertarik untuk menemukan seluruh fungsi waktu f(t) dari Transformasi Laplace F(s), yang tersedia untuk solusi. Sangat menarik untuk mengetahui bahwa kita dapat menemukan nilai pertama atau terakhir dari f(t) atau turunannya tanpa harus menemukan seluruh fungsi f(t). Dalam artikel ini, kita akan tertarik untuk menemukan nilai akhir dan turunannya.

Sebagai contoh:
Jika F(s) diberikan, kita ingin mengetahui apa itu F(∞), tanpa mengetahui fungsi f(t), yang merupakan Invers Transformasi Laplace, pada saat t→ ∞. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat Transformasi Laplace yang dikenal sebagai Teorema Nilai Akhir. Teorema nilai akhir dan teorema nilai awal disebut bersama-sama sebagai Teorema Limit.

Definisi Teorema Nilai Akhir Transformasi Laplace

Jika f(t) dan f'(t) keduanya dapat ditransformasikan Laplace dan sF(s) tidak memiliki kutub di sumbu jw dan di R.H.P. (Bidang Setengah Kanan) maka,

Bukti Teorema Nilai Akhir Transformasi Laplace
Kita tahu sifat diferensiasi Transformasi Laplace:

Catatan
Di sini batas 0– diambil untuk mengatasi impuls yang ada pada t = 0
Sekarang kita ambil batas s → 0. Maka e-st → 1 dan seluruh persamaan terlihat seperti

Contoh Teorema Nilai Akhir Transformasi Laplace
Tentukan nilai akhir dari F(s) yang diberikan tanpa menghitung secara eksplisit f(t)

Jawaban


Jawaban

Catatan
Lihat di sini, Invers Transformasi Laplace sulit dalam kasus ini. Namun, kita masih dapat menemukan Nilai Akhir melalui Teorema.

Jawaban
Catatan
Dalam Contoh 1 dan 2, kita telah memeriksa kondisinya tetapi semuanya memenuhi. Jadi, kami tidak menunjukkan secara eksplisit. Tetapi di sini sF(s) memiliki kutub di R.H.P karena penyebutnya memiliki akar positif.
Jadi, di sini kita tidak bisa menerapkan Teorema Nilai Akhir.

Jawaban
Catatan
Dalam contoh ini, sF(s) memiliki kutub di sumbu jw. +2i dan -2i secara spesifik.
Jadi, di sini kita juga tidak bisa menerapkan Teorema Nilai Akhir.

Jawaban
Catatan

Poin-poin yang perlu diingat:

• Untuk menerapkan FVT, kita perlu memastikan bahwa f(t) dan f'(t) dapat ditransformasikan.

• Kita perlu memastikan bahwa Nilai Akhir ada. Nilai akhir tidak ada dalam kasus berikut

Jika sF(s) memiliki kutub di sisi kanan bidang s. [Contoh 3]
Jika sF(s) memiliki kutub konjugat di sumbu jw. [Contoh 4]
Jika sF(s) memiliki kutub di asal. [Contoh 5]

• Kemudian terapkan

Dalam contoh ini, sF(s) memiliki kutub di asal.
Jadi, di sini kita juga tidak bisa menerapkan Teorema Nilai Akhir.
Tip Akhir
Cukup periksa apakah sF(s) tak terbatas atau tidak. Jika tak terbatas, maka tidak cocok untuk Teorema Nilai Akhir dan nilai akhir adalah tak hingga.

Pernyataan: Hormati aslinya, artikel bagus layak dibagikan, jika ada pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk penghapusan.