Věta o konečné hodnotě v Laplaceově transformaci (Důkaz a příklady)

Při řešení sítí, přechodných jevů a systémů nás někdy nemusí zajímat zjištění celé funkce f(t) z její Laplaceovy transformace F(s), která je k dispozici pro řešení. Je velmi zajímavé, že můžeme najít první nebo poslední hodnotu f(t) nebo jejích derivací, aniž bychom museli najít celou funkci f(t). V tomto článku se budeme zajímat o nalezení konečných hodnot a jejich derivací.

Pro příklad:
Jestliže je dán F(s), rádi bychom věděli, co je F(∞), aniž bychom znali funkci f(t), která je inverzní Laplaceovou transformací, v čase t→ ∞. To lze provést pomocí vlastnosti Laplaceovy transformace známé jako Věta o konečné hodnotě. Věta o konečné hodnotě a věta o počáteční hodnotě jsou společně nazývány Limitními teorémy.

Definice věty o konečné hodnotě Laplaceovy transformace

Pokud jsou f(t) a f'(t) obě Laplaceovsky transformovatelné a sF(s) nemá žádný pól na osě jw a v R.H.P. (pravé poloploše), pak,

Důkaz věty o konečné hodnotě Laplaceovy transformace
Víme, že diferenciální vlastnost Laplaceovy transformace:

Poznámka
Zde je limita 0– vzata, aby se zabránilo impulzům přítomným v t = 0
Nyní vezmeme limitu, když s → 0. Potom e-st → 1 a celá rovnice vypadá takto

Příklady věty o konečné hodnotě Laplaceovy transformace
Najděte konečné hodnoty daného F(s) bez explicitního výpočtu f(t)

Odpověď


Odpověď

Poznámka
Vidíme, že inverzní Laplaceova transformace je v tomto případě obtížná. Stále však můžeme najít konečnou hodnotu prostřednictvím věty.

Odpověď
Poznámka
V Příkladech 1 a 2 jsme zkontrolovali podmínky, ale splňují je všechny. Proto se vyhýbáme jejich explicitnímu zobrazení. Zde však má sF(s) pól v R.H.P., protože jmenovatel má kladný kořen.
Tedy, zde nemůžeme použít Větu o konečné hodnotě.

Odpověď
Poznámka
V tomto příkladu má sF(s) póly na ose jw. Konkrétně +2i a -2i.
Tedy, zde nemůžeme použít Větu o konečné hodnotě také.

Odpověď
Poznámka

Body k zapamatování:

• Pro použití Věty o konečné hodnotě musíme zajistit, aby byly f(t) a f'(t) transformovatelné.

• Musíme zajistit, aby existovala konečná hodnota. Konečná hodnota neexistuje v následujících případech

Pokud má sF(s) póly na pravé straně s-rovině. [Příklad 3]
Pokud má sF(s) komplexně sdružené póly na ose jw. [Příklad 4]
Pokud má sF(s) pól v počátku. [Příklad 5]

• Pak použijte

V tomto příkladu má sF(s) pól v počátku.
Tedy zde nemůžeme použít Větu o konečné hodnotě také.
Konečný trik
Jen zkontrolujte, zda je sF(s) neomezené nebo ne. Pokud je neomezené, pak není vhodné pro Větu o konečné hodnotě a konečná hodnota je jednoduše nekonečná.

Prohlášení: Respektujte původ, dobaře napsané články jsou hodné sdílení, jestliže je zde porušení autorských práv, obraťte se pro smazání.