Na solução de Redes, Transientes e Sistemas, às vezes, podemos não estar interessados em encontrar a função completa no tempo f(t) a partir de sua Transformada de Laplace F(s), que está disponível para a solução. É muito interessante descobrir que podemos encontrar o primeiro valor ou o último valor de f(t) ou suas derivadas sem ter que encontrar a função completa f(t). Neste artigo, estaremos interessados em encontrar os valores finais e suas derivadas.
Por exemplo:
Se F(s) for dada, gostaríamos de saber qual é F(∞), sem conhecer a função f(t), que é a Transformada Inversa de Laplace, no tempo t→ ∞. Isso pode ser feito usando a propriedade da Transformada de Laplace conhecida como Teorema do Valor Final. O teorema do valor final e o teorema do valor inicial são chamados juntos de Teoremas Limitantes.
Se f(t) e f'(t) forem transformáveis por Laplace e sF(s) não tiver pólos no eixo jw e no plano R.H.P. (Plano Direito), então,
Prova do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace
Sabemos a propriedade de diferenciação da Transformação de Laplace:
Nota
Aqui o limite 0– é tomado para considerar os impulsos presentes em t = 0
Agora, tomamos o limite quando s → 0. Então e-st → 1 e toda a equação parece
Exemplos do Teorema do Valor Final da Transformada de Laplace
Encontre os valores finais de F(s) dado sem calcular explicitamente f(t)
Resposta
Resposta
Nota
Veja aqui que a Transformada Inversa de Laplace é difícil neste caso. Ainda assim, podemos encontrar o Valor Final através do Teorema.
Resposta
Nota
Nos Exemplos 1 e 2, verificamos as condições, mas elas as satisfazem todas. Portanto, abstenhamo-nos de mostrar explicitamente. Mas aqui, sF(s) tem um polo no R.H.P, pois o denominador tem uma raiz positiva.
Então, aqui, não podemos aplicar o Teorema do Valor Final.
Resposta
Nota
Neste exemplo, sF(s) tem polos no eixo jw, especificamente +2i e -2i.
Portanto, aqui, também não podemos aplicar o Teorema do Valor Final.
Resposta
Nota
Pontos a lembrar:
Para aplicar o TVF, precisamos garantir que f(t) e f'(t) sejam transformáveis.
Precisamos garantir que o Valor Final exista. O valor final não existe nos seguintes casos
Se sF(s) tiver polos no lado direito do plano s. [Exemplo 3]
Se sF(s) tiver polos conjugados no eixo jw. [Exemplo 4]
Se sF(s) tiver um polo na origem. [Exemplo 5]
Então, aplique
Neste exemplo, sF(s) tem um polo na origem.
Portanto, aqui, também não podemos aplicar o Teorema do Valor Final.
Truque Final
Basta verificar se sF(s) é ilimitado ou não. Se for ilimitado, então não é adequado para o Teorema do Valor Final e o valor final é simplesmente infinito.
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