Teorema ng Huling Balyu sa Transformasyong Laplace (Patunay at mga Halimbawa)

Sa solusyon ng mga Network, Transient, at System, minsan ay hindi natin interesado na mahanap ang buong function ng oras f(t) mula sa kanyang Laplace Transform F(s), na available para sa solusyon. Napakapansin na makita natin na maaari nating mahanap ang unang halaga o huling halaga ng f(t) o ng kanyang derivatives nang hindi kinakailangan na mahanap ang buong function f(t). Interesado tayo na mahanap ang huling halaga at ang kanyang derivatives sa artikulong ito.

Para sa halimbawa:
Kung ibinigay ang F(s), gustuhin natin malaman kung ano ang F(∞), nang walang alam ang function f(t), na Inverse Laplace Transformation, sa oras t→ ∞. Ito ay maaaring gawin gamit ang katangian ng Laplace Transform na kilala bilang Teorema ng Huling Halaga. Ang Teorema ng Huling Halaga at ang Teorema ng Unang Halaga ay tinatawag na Limiting Theorems.

Pangalanan ng Teorema ng Huling Halaga ng Laplace Transform

Kung ang f(t) at f'(t) parehong may Laplace Transformable at ang sF(s) walang pole sa jw axis at sa R.H.P. (Right half Plane) pagkatapos,

Patunay ng Teorema ng Huling Halaga ng Laplace Transform
Alam natin ang property ng differentiation ng Laplace Transformation:

Tandaan
Dito ang limit 0– ay kinuha upang mapanatili ang mga impulse na naroroon sa t = 0
Ngayon, kinukuha natin ang limit bilang s → 0. Pagkatapos, e-st → 1 at ang buong equation ay magmumukhang

Mga Halimbawa ng Teorema ng Huling Halaga ng Laplace Transform
Hanapin ang huling halaga ng ibinigay na F(s) nang hindi nagkalkula ng eksplisitong f(t)

Sagot


Sagot

Tandaan
Tingnan dito ang Inverse Laplace Transform na mahirap sa kasong ito. Gayunpaman, maaari pa rin nating mahanap ang Huling Halaga sa pamamagitan ng Teorema.

Sagot
Tandaan
Sa Halimbawa 1 at 2, nacheck namin ang mga kondisyon pero ito ay nasasapat. Kaya naman, hindi namin ipinapakita ang eksplisitong pag-check. Ngunit dito, ang sF(s) ay may pole sa R.H.P dahil ang denominator ay may positibong ugat.
Kaya, dito hindi natin maaaring gamitin ang Teorema ng Huling Halaga.

Sagot
Tandaan
Sa halimbong ito, ang sF(s) ay may mga pole sa jw axis. +2i at -2i partikular.
Kaya, dito hindi natin maaaring gamitin ang Teorema ng Huling Halaga din.

Sagot
Tandaan

Mga bagay na dapat tandaan:

• Para sa pag-apply ng FVT, kailangang siguraduhin na ang f(t) at f'(t) ay transformable.

• Kailangang siguraduhin na umiiral ang Huling Halaga. Hindi umiiral ang huling halaga sa mga sumusunod na kaso

Kung ang sF(s) ay may mga pole sa kanang bahagi ng s plane. [Halimbawa 3]
Kung ang sF(s) ay may conjugate poles sa jw axis. [Halimbawa 4]
Kung ang sF(s) ay may pole sa origin. [Halimbawa 5]

• Pagkatapos, i-apply

Sa halimbong ito, ang sF(s) ay may pole sa origin.
Kaya, dito hindi natin maaaring gamitin ang Teorema ng Huling Halaga.
Huling Trick
Lamang na suriin kung ang sF(s) ay walang hanggan o hindi. Kung walang hanggan, hindi ito angkop para sa Teorema ng Huling Halaga at ang huling halaga ay simpleng walang hanggan.

Pahayag: Igalang ang original, mabubuting mga artikulo na karapat-dapat na ibahagi, kung may paglabag sa copyright pakiusap ipagbigay-alam upang tanggalin.