Toestandsruimteanalyse van besturingssysteem

Voordat ik u introduceer aan het concept van state space analyse van besturingssystemen, is het zeer belangrijk om hier de verschillen te bespreken tussen de conventionele theorie van besturingssystemen en de moderne theorie van besturingssystemen.

1. De conventionele besturingstheorie is volledig gebaseerd op de frequentiedomeinbenadering, terwijl de moderne besturingssysteemtheorie is gebaseerd op de tijd-domeinbenadering.

2. In de conventionele theorie van besturingssystemen hebben we alleen lineaire en tijdsonveranderlijke systemen met één ingang en één uitgang (SISO), maar met behulp van de theorie van moderne besturingssystemen kunnen we gemakkelijk zelfs niet-lineaire en tijdsvariatieve systemen met meerdere ingangen en uitgangen (MIMO) analyseren.

3. In de moderne theorie van besturingssystemen kan de stabiliteitsanalyse en de tijdsresponsanalyse zowel grafisch als analytisch eenvoudig worden uitgevoerd.

Nu is de state space analyse van besturingssystemen gebaseerd op de moderne theorie die van toepassing is op alle soorten systemen zoals SISO-systemen, MIMO-systemen, lineaire en niet-lineaire systemen, tijdsafhankelijke en tijdsonafhankelijke systemen. Laten we enkele basisbegrippen bespreken die verband houden met de state space analyse van moderne besturingssystementheorie.

1. Staat in State Space Analyse : Het verwijst naar de kleinste set variabelen waarvan de kennis op t = t0 samen met de kennis van de ingang voor t ≥ t0 de complete kennis geeft van het gedrag van het systeem op elk moment t ≥ t0.

2. Staatsvariabelen in State Space analyse : Het verwijst naar de kleinste set variabelen die ons helpen om de staat van het dynamische systeem te bepalen. Staatsvariabelen worden gedefinieerd door x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Staatvector : Stel dat er n staatsvariabelen nodig zijn om het volledige gedrag van het gegeven systeem te beschrijven, dan worden deze n staatsvariabelen beschouwd als n componenten van een vector x(t). Een dergelijke vector wordt staatsvector genoemd.

4. State Space : Het verwijst naar de n-dimensionale ruimte die de x1-as, x2-as ………xn-as heeft.

State Space Vergelijkingen

Laten we state space vergelijkingen afleiden voor het systeem dat lineair en tijdsonafhankelijk is.
Laten we een systeem met meerdere ingangen en uitgangen overwegen dat r ingangen en m uitgangen heeft.
Waarbij, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
En m = y1, y2 ……….. ym.
Nu nemen we n staatsvariabelen om het gegeven systeem te beschrijven, dus n = x1, x2, ……….. xn.
Ook definiëren we ingangs- en uitgangsvectoren als,
Getransponeerde van ingangsvectoren,

Waarbij T de getransponeerde van de matrix is.

Getransponeerde van uitgangsvectoren,

Waarbij T de getransponeerde van de matrix is.
Getransponeerde van staatsvectoren,

Waarbij T de getransponeerde van de matrix is.
Deze variabelen zijn gerelateerd door een set vergelijkingen die hieronder staan en bekend staan als state space vergelijkingen

Voorstelling van Staatmodel met behulp van Overdrachtsfunctie

Decompositie : Het is gedefinieerd als het proces om het staatmodel te verkrijgen vanuit de gegeven overdrachtsfunctie. Nu kunnen we de overdrachtsfunctie op drie verschillende manieren decomponeren:

1. Directe decompositie,

2. Cascade of serie decompositie,

3. Parallelle decompositie.

Bij al deze decompositiemethoden converteren we eerst de gegeven overdrachtsfunctie naar differentiaalvergelijkingen, ook wel dynamische vergelijkingen genoemd. Na conversie naar differentiaalvergelijkingen nemen we de inverse Laplace-transformatie van de bovenstaande vergelijking en maken vervolgens, afhankelijk van het type decompositie, het model. We kunnen elke soort overdrachtsfunctie in een staatmodel voorstellen. We hebben verschillende soorten modellen zoals elektrische modellen, mechanische modellen, enz.

Expressie van Overdrachtsmatrix in termen van A, B, C en D. We definiëren de overdrachtsmatrix als de Laplace-transformatie van de uitgang ten opzichte van de Laplace-transformatie van de ingang.
Bij het opnieuw schrijven van de staatvergelijkingen en het nemen van de Laplace-transformatie van beide staatvergelijkingen (met als aannames dat de beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul) hebben we

We kunnen de vergelijking schrijven als

Waarbij I een identiteitsmatrix is.
Nu substitueren we de waarde van X(s) in de vergelijking Y(s) en stellen D = 0 (wat betekent dat het een nulmatrix is) hebben we

De inverse van de matrix kan worden vervangen door de adjoint van de matrix gedeeld door de determinant van de matrix, nu herschrijven we de expressie als

|sI-A| is ook bekend als karakteristieke vergelijking wanneer deze gelijkgesteld wordt aan nul.

Concept van Eigenwaarden en Eigenvectoren

De wortels van de karakteristieke vergelijking die we hierboven hebben beschreven, worden eigenwaarden of eigengrootheden van matrix A genoemd.
Nu zijn er enkele eigenschappen die verband houden met eigenwaarden en deze eigenschappen staan hieronder:

1. Elke vierkante matrix A en haar getransponeerde At hebben dezelfde eigenwaarden.

2. De som van de eigenwaarden van elke matrix A is gelijk aan de spoor van de matrix A.

3. Het product van de eigenwaarden van elke matrix A is gelijk aan de determinant van de matrix A.

4. Als we een scalaire hoeveelheid vermenigvuldigen met matrix A, dan worden de eigenwaarden ook vermenigvuldigd met dezelfde waarde van de scalair.

5. Als we de gegeven matrix A inverteren, dan worden de bijbeh