Tila-avaruusanalyysi ohjausjärjestelmässä

Ennen kuin esitän sinulle tila-avaruusanalyysin käsitteen ohjausjärjestelmässä, on erittäin tärkeää keskustella tässä perinteisen ja modernin ohjausjärjestelmäteorian eroista.

1. Perinteinen ohjausteoria perustuu kokonaan taajuusalueen lähestymistapaan, kun taas moderni ohjausjärjestelmäteoria perustuu aika-alueen lähestymistapaan.

2. Perinteisessä ohjausjärjestelmäteoriassa meillä on vain lineaarisia ja aikainvarianttisia yhden syöteen ja yhden ulostulon (SISO) järjestelmiä, mutta modernin ohjausjärjestelmäteorian avulla voimme helposti analysoida myös epälineaarisia ja aikavarianttisia usean syötteen ja usean ulostulon (MIMO) järjestelmiä.

3. Modernissa ohjausjärjestelmäteoriassa vakauden analyysi ja aikavastekuvion analyysi voidaan tehdä helposti sekä graafisesti että analyyttisesti.

Nyt tila-avaruusanalyysi ohjausjärjestelmässä perustuu moderniin teoriaan, joka on sovellettavissa kaikkiin järjestelmiin, kuten yhden syötteen ja yhden ulostulon järjestelmiin, useiden syötteiden ja useiden ulostulujen järjestelmiin, lineaarisiin ja epälineaarisiin järjestelmiin, aikavariantteihin ja aikainvariantteihin järjestelmiin. Käsitellään muutama perustermi, jotka liittyvät tila-avaruusanalyysiin modernissa ohjausjärjestelmäteoriassa.

1. Tila tila-avaruusanalyysissä : Se viittaa pienimpään muuttujien joukkoon, jonka tiedossa hetkellä t = t0 yhdessä syötteiden tiedolla t ≥ t0 antaa täydellisen tiedon järjestelmän käyttäytymisestä missä tahansa ajassa t ≥ t0.

2. Tilamuuttujat tila-avaruusanalyysissä : Se viittaa pienimpään muuttujien joukkoon, joka auttaa meitä määrittämään dynaamisen järjestelmän tilan. Tilamuuttujat määritetään x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Tila-vektori :  Oletetaan, että tarvitaan n tilamuuttujaa kuvataksesi koko järjestelmän käyttäytymistä, silloin nämä n tilamuuttujaa pidetään n komponenttina vektorissa x(t). Tällainen vektori tunnetaan tilavektorina.

4. Tila-avaruus : Se viittaa n-ulotteiseen avaruuteen, jolla on x1-akseli, x2-akseli ………xn-akseli.

Tila-avaruusyhtälöt

Johdetaan tila-avaruusyhtälöt lineaariselle ja aikainvariantille järjestelmälle.
Oletetaan useiden syötteiden ja useiden ulostulujen järjestelmä, jolla on r syötettä ja m ulostulua.
Missa, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Ja m = y1, y2 ……….. ym.
Nyt otamme käyttöön n tilamuuttujaa kuvataksemme kyseistä järjestelmää, joten n = x1, x2, ……….. xn.
Määrittelemme myös syöte- ja ulostuluvektorit seuraavasti,
Syötevektorin transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.

Ulostuluvektorin transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.
Tilavektorin transpoosi,

Missä, T on matriisin transpoosi.
Nämä muuttujat ovat sidottuja joukkoon yhtälöitä, jotka kirjoitetaan alla ja joita kutsutaan tila-avaruusyhtälöiksi

Tila-mallin esittäminen siirtofunktion avulla

Hajotus : Se määritellään prosessiksi, jossa saadaan tila-malli annetusta siirtofunktiosta. Nyt voimme hajottaa siirtofunktion kolmella eri tavalla:

1. Suora hajotus,

2. Ketterä tai sarjahajotus,

3. Rinnakkais-hajotus.

Kaikissa yllä mainituissa hajotusmenetelmissä ensin muutamme annetun siirtofunktion differentiaaliyhtälöksi, jota kutsutaan myös dynaamisiksi yhtälöiksi. Differentiaaliyhtälöiden muuntamisen jälkeen otamme niiden Laplace-käänteismuunnoksen, ja sitten vastaavan hajotustyypin mukaisesti voimme luoda mallin. Voimme esittää minkä tahansa siirtofunktion tila-mallina. Meillä on erilaisia malleja, kuten sähkömalli, mekaaninen malli jne.

Siirtomatriisin ilmaisu A, B, C ja D:n avulla. Määrittelemme siirtomatriisin syötekuvion Laplace-muunnokseksi ulostulon Laplace-muunnokseen.
Kirjoitetaan tilayhtälöt uudelleen ja otetaan niiden Laplace-muunnos (olettaen alkuolosuhteet nollaksi) ja meillä on

Voimme kirjoittaa yhtälön

Missä, I on identiteettimatriisi.
Nyt sijoittamalla X(s):n arvon yhtälöön Y(s) ja asettamalla D = 0 (merkitsee nollamatriisia) meillä on

Matriisin käänteismatriisi voidaan korvata adjungoidulla matriisilla jaettuna matriisin determinantilla, nyt uudelleen kirjoittaen ilmauksen meillä on

|sI-A| on myös tunnettu karakteristinen yhtälö, kun sitä asetetaan nollaksi.

Oman arvojen ja ominaisvektoreiden käsite

Yllä kuvatun karakteristisen yhtälön juuret tunnetaan omana arvoina tai matriisin A ominaisarvoina.
Nyt on olemassa joitakin ominaisuuksia, jotka liittyvät oman arvoihin, ja nämä ominaisuudet kirjoitetaan alla-

1. Mikä tahansa neliömatriisi A ja sen transpoosi At ovat samoja ominaisarvoja.

2. Mikä tahansa matriisin A ominaisarvojen summa on sama kuin matriisin A jälki.

3. Mikä tahansa matriisin A ominaisarvojen tulo on sama kuin matriisin A determinantti.

4. Jos