Tillståndsrymdsanalys av styrsystem

Innan jag introducerar dig till konceptet om tillståndsrymdsanalys av reglersystem, är det mycket viktigt att diskutera här skillnaderna mellan den konventionella teorin för reglersystem och den moderna teorin för reglersystem.

1. Den konventionella kontrollteorin är helt baserad på frekvensdomänsansatsen medan den moderna kontrollsystemsteorin är baserad på tidsdomänsansatsen.

2. I den konventionella teorin för reglersystem har vi endast linjära och tidsinvarianta system med en ingång och en utgång (SISO), men med hjälp av den moderna kontrollsystemsteorin kan vi enkelt analysera även icke-linjära och tidsvarierande system med flera ingångar och flera utgångar (MIMO).

3. I den moderna teorin för reglersystem kan stabilitetsanalys och tidssvarsanalys utföras både grafiskt och analytiskt på ett mycket enkelt sätt.

Nu är tillståndsrymdsanalys av reglersystem baserad på den moderna teorin som är tillämpbar på alla typer av system, som system med en ingång och en utgång, system med flera ingångar och flera utgångar, linjära och icke-linjära system, tidsvarierande och tidsinvarianta system. Låt oss överväga några grundläggande termer relaterade till tillståndsrymdsanalys av den moderna teorin för reglersystem.

1. Tillstånd i tillståndsrymdsanalys : Det hänvisar till den minsta uppsättningen variabler vars kunskap vid t = t0 tillsammans med kunskapen om inmatning för t ≥ t0 ger fullständig kunskap om systemets beteende vid valfritt t ≥ t0.

2. Tillståndsvariabler i tillståndsrymdsanalys : Det hänvisar till den minsta uppsättningen variabler som hjälper oss att fastställa tillståndet för det dynamiska systemet. Tillståndsvariabler definieras av x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Tillståndsvektor : Om det krävs n tillståndsvariabler för att beskriva det fullständiga beteendet hos det givna systemet, anses dessa n tillståndsvariabler vara n komponenter av en vektor x(t). Sådan en vektor kallas tillståndsvektor.

4. Tillståndsrymd : Det hänvisar till den n-dimensionella rymden som har x1-axel, x2-axel ………xn-axel.

Tillståndsrymdsekvationer

Låt oss härleda tillståndsrymdsekvationer för systemet som är linjärt och tidsinvariant.
Låt oss betrakta system med flera ingångar och flera utgångar som har r ingångar och m utgångar.
Där, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Och m = y1, y2 ……….. ym.
Nu tar vi n tillståndsvariabler för att beskriva det givna systemet, så n = x1, x2, ……….. xn.
Vi definierar också in- och utdatavektorer som,
Transponat av indatavektorer,

Där T är transponatet av matrisen.

Transponat av utdatavektorer,

Där T är transponatet av matrisen.
Transponat av tillståndsvektorer,

Där T är transponatet av matrisen.
De här variablerna är relaterade genom en uppsättning ekvationer som skrivs nedan och kallas tillståndsrymdsekvationer

Repräsentation av tillståndsmodell med överföringsfunktion

Decomposition : Det definieras som processen att erhålla tillståndsmodellen från den givna överföringsfunktionen. Nu kan vi dekomponera överföringsfunktionen på tre olika sätt:

1. Direkt dekomposition,

2. Kaskad- eller serie dekomposition,

3. Parallell dekomposition.

I alla ovanstående dekompositionsmetoder konverterar vi först den givna överföringsfunktionen till differentialekvationer, vilka också kallas dynamiska ekvationer. Efter konvertering till differentialekvationer tar vi invers Laplacetransform av ovanstående ekvation, sedan skapar vi modellen enligt typen av dekomposition. Vi kan representera vilken typ av överföringsfunktion som helst i tillståndsmodell. Vi har olika typer av modeller som elektriska modeller, mekaniska modeller etc.

Uttryck av överföringsmatris i termer av A, B, C och D. Vi definierar överföringsmatrisen som Laplacetransformen av utdata till Laplacetransformen av indata.
Vid skrivande av tillståndsekvationerna igen och tagandet av Laplacetransformen av båda tillståndsekvationerna (med antagande att initiala villkor är lika med noll) har vi

Vi kan skriva ekvationen som

Där I är en identitetsmatris.
Nu ersätter vi värdet av X(s) i ekvationen Y(s) och sätter D = 0 (vilket betyder att det är en nollmatris) har vi

Inversen av matris kan ersättas av adjoint av matris delat med determinanten av matrisen, nu när vi skriver om uttrycket har vi av

|sI-A| är också känd som karakteristisk ekvation när den sätts lika med noll.

Koncept av egenvärden och egenvektorer

Rötterna av den karaktäristiska ekvation som vi har beskrivit ovan kallas egenvärden eller egenvärden av matris A.
Nu finns det vissa egenskaper relaterade till egenvärden och dessa egenskaper är nedanstående-

1. Valfri kvadratisk matris A och dess transponat At har samma egenvärden.

2. Summan av egenvärdena för valfri matris A är lika med spåret av matrisen A.

3. Produkten av egenvärdena för valfri matris A är lika med determinanterna av matrisen A.

4. Om vi multiplicerar en skalär kvantitet med matris A, då multipliceras egenvärdena också med samma värde av skalären.