Analisis Espasyo Estado ng Sistema ng Pamamahala

Bago ako ipakilala sa iyo ang concept ng state space analysis of control system, napakahalaga na usapin dito ang mga pagkakaiba sa conventional theory ng control system at modern theory ng control system.

1. Ang conventional control theory ay ganap na batay sa frequency domain approach habang ang modern control system theory naman ay batay sa time domain approach.

2. Sa conventional theory ng control system, mayroon tayong linear at time invariant single input single output (SISO) systems lamang, ngunit sa tulong ng theory ng modern control system, maaari nating gawing mas madali ang analysis ng hindi linear at time variant multiple inputs multiple outputs (MIMO) systems.

3. Sa modern theory ng control system, maaaring gawin ang stability analysis at time response analysis gamit ang parehong graphical at analytical methods na mas madali.

Ngayon, ang state space analysis of control system ay batay sa modern theory na applicable sa lahat ng uri ng systems tulad ng single input single output systems, multiple inputs and multiple outputs systems, linear at non-linear systems, time varying at time invariant systems. Suriin natin ang ilang pangunahing termino na may kaugnayan sa state space analysis ng modern theory ng control systems.

1. State sa State Space Analysis : Ito ay tumutukoy sa pinakamaliit na set ng variables na kung alamin sa t = t0 kasama ang kaalaman ng input para sa t ≥ t0 ay nagbibigay ng buong kaalaman tungkol sa pag-uugali ng system sa anumang oras t ≥ t0.

2. State Variables sa State Space analysis : Ito ay tumutukoy sa pinakamaliit na set ng variables na tumutulong sa amin upang matukoy ang state ng dynamic system. Ang state variables ay inilalarawan ng x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. State Vector : Kung mayroong nangangailangan ng n state variables upang ilarawan ang buong pag-uugali ng ibinigay na system, ang n state variables na ito ay itinuturing na n components ng vector x(t). Ang ganitong vector ay kilala bilang state vector.

4. State Space : Ito ay tumutukoy sa n dimensional space na may x1 axis, x2 axis ………xn axis.

State Space Equations

Hayaan nating deriva ang state space equations para sa system na linear at time invariant.
Suriin natin ang multiple inputs at multiple outputs system na may r inputs at m outputs.
Kung saan, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
At m = y1, y2 ……….. ym.
Ngayon, kami ay kumuha ng n state variables upang ilarawan ang ibinigay na system, kaya n = x1, x2, ……….. xn.
Tinatayuan din natin ang input at output vectors,
Transpose ng input vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.

Transpose ng output vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.
Transpose ng state vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.
Ang mga variable na ito ay may kaugnayan sa isang set ng equations na isinulat sa ibaba at kilala bilang state space equations

Representation of State Model using Transfer Function

Decomposition : Ito ay tinukoy bilang proseso ng pagkuha ng state model mula sa ibinigay na transfer function. Ngayon, maaari nating decompose ang transfer function gamit ang tatlong magkaibang paraan:

1. Direct decomposition,

2. Cascade o series decomposition,

3. Parallel decomposition.

Sa lahat ng nabanggit na paraan ng decomposition, unang-una nating iconvert ang ibinigay na transfer function sa differential equations na tinatawag ding dynamic equations. Pagkatapos ng conversion sa differential equations, kukunin natin ang inverse Laplace transform ng nabanggit na equation, at depende sa uri ng decomposition, maaari nating lumikha ng model. Maaari nating ilarawan ang anumang uri ng transfer function sa state model. Mayroon tayong iba't ibang uri ng model tulad ng electrical model, mechanical model, atbp.

Expression ng Transfer Matrix sa terms ng A, B, C, at D. Inilalarawan natin ang transfer matrix bilang Laplace transform ng output sa Laplace transform ng input.
Sa pagsulat ng state equations muli at pagkuha ng Laplace transform ng parehong state equation (na assuming na ang initial conditions ay zero) mayroon tayo

Maaari nating isulat ang equation bilang

Kung saan, I ay identity matrix.
Ngayon, pagsubstitute ng value ng X(s) sa equation Y(s) at paglalagay ng D = 0 (ibig sabihin ay isang null matrix) mayroon tayo

Inverse ng matrix maaari nating substitute sa adj ng matrix na hinati ng determinant ng matrix, ngayon sa pag-rewrite ng expression mayroon tayo ng

|sI-A| ay kilala rin bilang characteristic equation kapag equated sa zero.

Concept of Eigen Values and Eigen Vectors

Ang mga ugat ng characteristic equation na inilalarawan natin sa itaas ay kilala bilang eigen values o eigen values ng matrix A.
Ngayon, mayroon tayong ilang katangian na may kaugnayan sa eigen values at ang mga katangian na ito ay isinulat sa ibaba-

1. Anumang square matrix A at ang kanyang transpose At ay may parehong eigen values.

2. Ang sum ng eigen values ng anumang matrix A ay katumbas ng trace ng matrix A.

3. Ang product ng eigen values ng anumang matrix A ay katumbas ng determinant ng matrix A.

4. Kapag iminultiply natin ang isang scalar quantity sa matrix A, ang eigen values ay din iminultiply ng parehong halaga ng scalar.

5. Kapag ininverse natin ang ibinigay na matrix A, ang eigen values nito ay din ininverse.

6. Kapag ang lahat ng elements ng matrix ay real, ang eigen values na may kaugnayan sa matrix ay maaaring real o umiiral bilang complex conjugate pair.