Análise de Espaço de Estados do Sistema de Controle

Antes de introduzir o conceito de análise de espaço de estados do sistema de controle, é muito importante discutir aqui as diferenças entre a teoria convencional do sistema de controle e a teoria moderna do sistema de controle.

1. A teoria convencional de controle baseia-se completamente na abordagem de domínio de frequência, enquanto a teoria moderna de sistemas de controle baseia-se na abordagem de domínio de tempo.

2. Na teoria convencional de sistemas de controle, temos apenas sistemas lineares e invariantes no tempo com entrada única e saída única (SISO), mas, com a ajuda da teoria moderna de sistemas de controle, podemos facilmente analisar até mesmo sistemas não lineares e variantes no tempo com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO).

3. Na teoria moderna de sistemas de controle, a análise de estabilidade e a análise de resposta ao tempo podem ser realizadas por métodos gráficos e analíticos de forma muito fácil.

Agora, a análise de espaço de estados do sistema de controle baseia-se na teoria moderna, que é aplicável a todos os tipos de sistemas, como sistemas de entrada única e saída única, sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas, sistemas lineares e não lineares, sistemas variantes e invariantes no tempo. Vamos considerar alguns termos básicos relacionados à análise de espaço de estados da teoria moderna de sistemas de controle.

1. Estado na Análise de Espaço de Estados : Refere-se ao menor conjunto de variáveis cujo conhecimento em t = t0 junto com o conhecimento da entrada para t ≥ t0 fornece o conhecimento completo do comportamento do sistema em qualquer tempo t ≥ t0.

2. Variáveis de Estado na Análise de Espaço de Estados : Refere-se ao menor conjunto de variáveis que nos ajudam a determinar o estado do sistema dinâmico. As variáveis de estado são definidas por x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vetor de Estado : Suponha que seja necessário n variáveis de estado para descrever o comportamento completo do sistema dado, então essas n variáveis de estado são consideradas n componentes de um vetor x(t). Tal vetor é conhecido como vetor de estado.

4. Espaço de Estado : Refere-se ao espaço n-dimensional que possui eixo x1, eixo x2 ………eixo xn.

Equações de Espaço de Estados

Vamos derivar as equações de espaço de estados para o sistema que é linear e invariante no tempo.
Vamos considerar um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas que tem r entradas e m saídas.
Onde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
E m = y1, y2 ……….. ym.
Agora estamos tomando n variáveis de estado para descrever o sistema dado, portanto, n = x1, x2, ……….. xn.
Também definimos vetores de entrada e saída como,
Transposta dos vetores de entrada,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vetores de saída,

Onde, T é a transposta da matriz.
Transposta dos vetores de estado,

Onde, T é a transposta da matriz.
Essas variáveis estão relacionadas por um conjunto de equações que são escritas abaixo e são conhecidas como equações de espaço de estados

Representação do Modelo de Estado usando Função de Transferência

Decomposição : É definida como o processo de obter o modelo de estado a partir da função de transferência dada. Agora podemos decompor a função de transferência usando três maneiras diferentes:

1. Decomposição direta,

2. Decomposição em cascata ou série,

3. Decomposição paralela.

Em todos os métodos de decomposição acima, primeiro convertemos a função de transferência dada em equações diferenciais, que também são chamadas de equações dinâmicas. Depois de converter em equações diferenciais, tomaremos a transformada inversa de Laplace da equação acima, e, conforme o tipo de decomposição, podemos criar o modelo. Podemos representar qualquer tipo de função de transferência no modelo de estado. Temos vários tipos de modelos, como modelo elétrico, modelo mecânico, etc.

Expressão da Matriz de Transferência em termos de A, B, C e D. Definimos a matriz de transferência como a transformada de Laplace da saída para a transformada de Laplace da entrada.
Ao escrever novamente as equações de estado e tomar a transformada de Laplace de ambas as equações de estado (assumindo condições iniciais iguais a zero), temos

Podemos escrever a equação como

Onde, I é uma matriz identidade.
Agora, substituindo o valor de X(s) na equação Y(s) e colocando D = 0 (ou seja, é uma matriz nula), temos

A inversa da matriz pode ser substituída pelo adjunto da matriz dividido pelo determinante da matriz. Agora, reescrevendo a expressão, temos

|sI-A| também é conhecida como equação característica quando igualada a zero.

Conceito de Valores Próprios e Vetores Próprios

As raízes da equação característica que descrevemos acima são conhecidas como valores próprios ou autovalores da matriz A.
Agora, existem algumas propriedades relacionadas aos valores próprios, e essas propriedades estão escritas abaixo:

1. Qualquer matriz quadrada A e sua transposta At têm os mesmos valores próprios.

2. A soma dos valores próprios de qualquer matriz A é igual ao traço da matriz A.

3. O produto dos valores próprios de qualquer matriz A é igual ao determinante da matriz A.

4. Se multiplicarmos uma quantidade escalar pela matriz A, então os valores próprios também serão multiplicados pelo mesmo valor escalar.

5. Se invertermos a matriz A dada, seus valores próprios também serão invertidos.

6. Se todos os elementos da matriz forem reais, então os valores próprios correspondentes a essa matriz serão reais ou existirão em pares conjugados complexos.