Zustandsraumanalyse des Regelungssystems

Bevor ich Ihnen das Konzept der Zustandsraumanalyse von Regelungssystemen vorstelle, ist es sehr wichtig, hier die Unterschiede zwischen der herkömmlichen Theorie des Regelungssystems und der modernen Theorie des Regelungssystems zu besprechen.

1. Die herkömmliche Regelungstheorie basiert vollständig auf dem Frequenzbereichsansatz, während die moderne Regelungssystemtheorie auf dem Zeitbereichsansatz basiert.

2. In der herkömmlichen Theorie des Regelungssystems haben wir nur lineare und zeitinvariante Systeme mit einer Eingabe und einer Ausgabe (SISO), aber mit Hilfe der Theorie des modernen Regelungssystems können wir sogar nichtlineare und zeitvariante Systeme mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen (MIMO) leicht analysieren.

3. In der modernen Theorie des Regelungssystems kann die Stabilitätsanalyse und die Zeitantwortanalyse sowohl graphisch als auch analytisch sehr einfach durchgeführt werden.

Nun basiert die Zustandsraumanalyse des Regelungssystems auf der modernen Theorie, die auf alle Arten von Systemen anwendbar ist, wie Systeme mit einer Eingabe und einer Ausgabe, Systeme mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen, lineare und nichtlineare Systeme, zeitveränderliche und zeitinvariante Systeme. Betrachten wir einige grundlegende Begriffe, die sich auf die Zustandsraumanalyse der modernen Theorie der Regelungssysteme beziehen.

1. Zustand in der Zustandsraumanalyse : Es bezieht sich auf die kleinste Menge von Variablen, deren Kenntnis bei t = t0 zusammen mit der Kenntnis der Eingabe für t ≥ t0 das vollständige Verhalten des Systems zu jedem Zeitpunkt t ≥ t0 gibt.

2. Zustandsvariablen in der Zustandsraumanalyse : Es bezieht sich auf die kleinste Menge von Variablen, die uns helfen, den Zustand des dynamischen Systems zu bestimmen. Zustandsvariablen werden definiert durch x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Zustandsvektor : Angenommen, es sind n Zustandsvariablen erforderlich, um das vollständige Verhalten des gegebenen Systems zu beschreiben, dann werden diese n Zustandsvariablen als n Komponenten eines Vektors x(t) betrachtet. Solch ein Vektor wird als Zustandsvektor bezeichnet.

4. Zustandsraum : Es bezieht sich auf den n-dimensionalen Raum, der die x1-Achse, x2-Achse ………xn-Achse hat.

Zustandsraumgleichungen

Leiten wir nun die Zustandsraumgleichungen für ein System ab, das linear und zeitinvariant ist.
Betrachten wir ein System mit mehreren Eingängen und mehreren Ausgängen, das r Eingänge und m Ausgänge hat.
Wo, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Und m = y1, y2 ……….. ym.
Nun nehmen wir n Zustandsvariablen, um das gegebene System zu beschreiben, daher n = x1, x2, ……….. xn.
Außerdem definieren wir Eingabe- und Ausgabevektoren als,
Transponierte der Eingabevektoren,

Wo T die Transposition der Matrix ist.

Transponierte der Ausgabevektoren,

Wo T die Transposition der Matrix ist.
Transponierte der Zustandsvektoren,

Wo T die Transposition der Matrix ist.
Diese Variablen sind durch eine Reihe von Gleichungen verknüpft, die unten geschrieben und als Zustandsraumgleichungen bekannt sind

Darstellung des Zustandsmodells mit Übertragungsfunktion

Zerlegung : Es wird als Prozess definiert, bei dem das Zustandsmodell aus der gegebenen Übertragungsfunktion gewonnen wird. Nun können wir die Übertragungsfunktion auf drei verschiedene Weisen zerlegen:

1. Direkte Zerlegung,

2. Kaskaden- oder Reihenzerlegung,

3. Parallele Zerlegung.

Bei allen obigen Zerlegungsverfahren wandeln wir zunächst die gegebene Übertragungsfunktion in Differentialgleichungen um, die auch als dynamische Gleichungen bezeichnet werden. Nach der Umwandlung in Differentialgleichungen nehmen wir die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung, danach können wir entsprechend der Art der Zerlegung ein Modell erstellen. Wir können jede Art von Übertragungsfunktion im Zustandsmodell darstellen. Wir haben verschiedene Arten von Modellen wie elektrische Modelle, mechanische Modelle usw.

Ausdruck der Übertragungsmatrix in Bezug auf A, B, C und D. Wir definieren die Übertragungsmatrix als die Laplace-Transformation der Ausgabe zur Laplace-Transformation der Eingabe.
Wenn wir die Zustandsgleichungen erneut schreiben und die Laplace-Transformation beider Zustandsgleichungen (unter der Annahme, dass die Anfangsbedingungen gleich Null sind) nehmen, erhalten wir

Wir können die Gleichung schreiben als

Wo I eine Einheitsmatrix ist.
Nun ersetzen wir den Wert von X(s) in der Gleichung Y(s) und setzen D = 0 (d. h. eine Nullmatrix) ein, so erhalten wir

Die Inverse der Matrix kann durch die Adjungierte der Matrix geteilt durch die Determinante der Matrix ersetzt werden, nun schreiben wir den Ausdruck neu, so erhalten wir

|sI-A| wird auch als charakteristische Gleichung bezeichnet, wenn sie gleich Null gesetzt wird.

Konzept der Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, die wir oben beschrieben haben, werden als Eigenwerte oder Eigenwerte der Matrix A bezeichnet.
Nun gibt es einige Eigenschaften, die sich auf die Eigenwerte beziehen, und diese Eigenschaften sind unten aufgeführt-

1. Jede quadratische Matrix A und ihre Transponierte At haben die gleichen Eigenwerte.

2. Die Summe der Eigenwerte jeder Matrix A entspricht der Spur der Matrix A.

3. Das Produkt der Eigenwerte jeder Matrix A entspricht der Determinante der Matrix A.

4. Wenn wir eine skalare Größe mit der Matrix A multiplizieren, dann werden die Eigenwerte ebenfalls mit dem gleichen Skalarwert multipliziert.

5. Wenn wir die gegebene Matrix A invertieren, werden ihre Eigenwerte ebenfalls invertiert.