Analyse Spatii Statusus Systematis Controlis

Antequam tibi de conceptu analyse spatialis status systematis controlis narrem, valde necessarium est hic de differentiis inter theoriae traditionalem et modernam systematis controlis disserere.

1. Theoria traditio controlis penitus in aditu frequentiae fundatur, dum theoria moderna systematis controlis in aditu temporis fundatur.

2. In theoria traditionali systematis controlis habemus systemata linearia et tempore invariabilia singulis ingressibus et exitibus (SISO) tantum, sed cum auxilio theoriae modernae systematis controlis facile possumus analysem etiam non linearium et temporis variantium systematum plurimorum ingressuum et exituum (MIMO) facere.

3. In theoria moderna systematis controlis analysin stabilitatis et responsionis temporis per utramque methodum graphicam et analyticam facile perficere possumus.

Nunc analyse spatialis status systematis controlis in theoria moderna fundatur, quae ad omnes genera systematum, sicut systemata singulis ingressibus et exitibus, pluralibus ingressibus et exitibus, lineariis et non lineariis, temporis variantibus et invarianibus, applicanda est. Consideremus paucos terminos basicos pertinentes ad analyse spatialis status theoriae modernae systematis controlis.

1. Status in Analyse Spatialis Status : Refertur ad minimam copiam variabilium, cuius cognitio ad t = t0 simul cum cognitione ingressus pro t ≥ t0 dat plenam cognitionem comportamentis systematis ad omne tempus t ≥ t0.

2. Variabiles Status in Analyse Spatialis Status : Refertur ad minimam copiam variabilium, quae nobis ad determinandum statum systematis dynamicum iuvant. Variabiles status definitae sunt per x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vector Status : Si n variabiles status requiruntur ad describendum completum comportamentum systematis dat, haec n variabiles status considerantur ut n componentes vectoris x(t). Talis vector cognoscitur ut vector status.

4. Spatium Status : Refertur ad n dimensionale spatium, quod axem x1, axem x2 ………axem xn habet.

Aequationes Spatii Status

Deducamus aequationes spatii status pro systemate lineari et tempore invariabili.
Consideremus systema pluralium ingressuum et exituum, quod r ingressus et m exitus habet.
Ubi, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Et m = y1, y2 ……….. ym.
Nunc n variabiles status sumimus ad systema descriptum, igitur n = x1, x2, ……….. xn.
Definimus etiam vectores ingressus et exitus,
Transpositus vectorum ingressus,

Ubi, T est transpositus matricis.

Transpositus vectorum exitus,

Ubi, T est transpositus matricis.
Transpositus vectorum status,

Ubi, T est transpositus matricis.
Hae variabiles relationibus aequationum, quae infra scriptae sunt et cognoscuntur ut aequationes spatii status, conjunguntur

Representatio Modello Status Usu Functionis Transferendi

Decompositio : Definitur ut processus obtinendi modello status ex functione transferendi data. Nunc possimus decomponere functionem transferendi usis tribus modis diversis:

1. Decompositio directa,

2. Decompositio in serie vel cascadica,

3. Decompositio parallela.

In omnibus supra dictis modis decompositionis primum convertimus functionem transferendi datam in aequationes differentiales, quae etiam vocantur aequationes dynamicas. Post conversionem in aequationes differentiales accipimus inversam transformationem Laplace aequationis praecedentis, postea secundum typum decompositionis creare possumus modello. Omnis genus functionis transferendi in modello status repraesentari potest. Habemus genera diversa modelorum, sicut modello electricum, mechanicum, etc.

Expressio Matricis Transferendi in Terminis A, B, C et D. Definimus matricem transferendi ut transformationem Laplace exitus ad transformationem Laplace ingressus.
Rursus aequationes status scribentes et transformationem Laplace amborum aequationum status (praesupponendo conditiones initiales aequales nullo) accipientes habemus

Aequationem hanc scribere possumus

Ubi, I est matrix identitas.
Nunc substituendo valor X(s) in aequatione Y(s) et ponendo D = 0 (id est, matrix nulla) habemus

Inversus matrix substitui potest per adjunctum matrix divisum per determinantem matrix, rursus expressionem hanc rescribentes habemus

|sI-A| etiam cognoscitur ut aequatio characteristica, quando aequatur nullo.

Conceptus Valorum et Vectorum Eigen

Radices aequationis characteristicae, quam supra descripsimus, cognosci solent ut valores eigen aut valores eigen matris A.
Nunc sunt proprietates aliquot relatae ad valores eigen, et has proprietates infra scriptas habemus-

1. Omnis matrix quadrata A et eius transpositus At eosdem valores eigen habent.

2. Summa valorum eigen omnis matris A aequalis est tracem matris A.

3. Productum valorum eigen omnis matris A aequalis est determinantem matris A.

4. Si quantitatem scalaris matris A multiplicamus, tunc valores eigen quoque per eandem quantitatem scalaris multiplicati sunt.

5. Si matricem A inversam facimus, tunc eius valores eigen quoque inversi sunt.

6. Si omnia elementa matris realia sunt, tunc valores eigen correspondentes illi matrici vel realia sunt vel in paribus conjugatorum complexorum existunt.

Nunc unus vector eigen ad unum valorem eigen pertinet, si satisfacit conditio sequent