Prostorová analýza řídicího systému

Než vám představím koncept analýzy stavového prostoru řídicího systému, je velmi důležité zde diskutovat rozdíly mezi tradiční teorií řídicího systému a moderní teorií řídicího systému.

1. Tradiční teorie řídicích systémů je zcela založena na frekvenčním přístupu, zatímco moderní teorie řídicích systémů je založena na časovém přístupu.

2. V tradiční teorii řídicích systémů máme pouze lineární a časově invariantní systémy s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO), ale s pomocí teorie moderních řídicích systémů můžeme snadno analyzovat i nelineární a časově proměnné systémy s více vstupy a výstupy (MIMO).

3. V moderní teorii řídicích systémů lze analýzu stability a časové odezvy provést jak graficky, tak analytickou metodou velmi snadno.

Nyní je analýza stavového prostoru řídicího systému založena na moderní teorii, která se vztahuje na všechny typy systémů, jako jsou systémy s jedním vstupem a jedním výstupem, systémy s více vstupy a výstupy, lineární a nelineární systémy, časově proměnné a časově invariantní systémy. Zvažme několik základních termínů souvisejících s analýzou stavového prostoru moderní teorie řídicích systémů.

1. Stav v analýze stavového prostoru : Odkazuje na nejmenší sadu proměnných, jejichž znalost v čase t = t0 spolu s znalostí vstupu pro t ≥ t0 poskytuje kompletní znalost chování systému v libovolném čase t ≥ t0.

2. Stavové proměnné v analýze stavového prostoru : Odkazují na nejmenší sadu proměnných, které nám pomáhají určit stav dynamického systému. Stavové proměnné jsou definovány x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Stavový vektor : Pokud je k popisu celkového chování daného systému potřeba n stavových proměnných, pak tyto n stavové proměnné jsou považovány za n komponent vektoru x(t). Takový vektor se nazývá stavový vektor.

4. Stavový prostor : Odkazuje na n-rozměrný prostor, který má osu x1, osu x2 ………osu xn.

Rovnice stavového prostoru

Odvoďme rovnice stavového prostoru pro systém, který je lineární a časově invariantní.
Zvažme systém s více vstupy a výstupy, který má r vstupů a m výstupů.
Kde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
A m = y1, y2 ……….. ym.
Nyní bereme n stavových proměnných k popisu daného systému, proto n = x1, x2, ……….. xn.
Také definujeme vektory vstupů a výstupů jako,
Transpozice vstupních vektorů,

Kde T je transpozice matice.

Transpozice výstupních vektorů,

Kde T je transpozice matice.
Transpozice stavových vektorů,

Kde T je transpozice matice.
Tyto proměnné jsou spojeny souborem rovnic, které jsou napsány níže a jsou známé jako rovnice stavového prostoru

Reprezentace stavového modelu pomocí přenosové funkce

Rozklad : Je definován jako proces získání stavového modelu z dané přenosové funkce. Nyní můžeme rozložit přenosovou funkci třemi různými způsoby:

1. Přímý rozklad,

2. Kaskádový nebo sériový rozklad,

3. Paralelní rozklad.

Ve všech výše uvedených metodách rozkladu nejprve převedeme danou přenosovou funkci do diferenciálních rovnic, které se také nazývají dynamické rovnice. Po převodu do diferenciálních rovnic vezmeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice, a podle typu rozkladu můžeme vytvořit model. Jakýkoli typ přenosové funkce můžeme reprezentovat v stavovém modelu. Máme různé typy modelů, jako jsou elektrické modely, mechanické modely atd.

Výraz přenosové matice vzhledem k A, B, C a D. Přenosovou matici definujeme jako Laplaceovu transformaci výstupu k Laplaceově transformaci vstupu.
Při znovunapsání stavových rovnic a provedení Laplaceovy transformace obou stavových rovnic (předpokládáme, že počáteční podmínky jsou rovny nule) máme

Můžeme napsat rovnici jako

Kde I je identita matice.
Nyní dosazením hodnoty X(s) do rovnice Y(s) a položením D = 0 (což znamená, že je to nulová matice) máme

Inverzní matice může být nahrazena adjungovanou maticí dělenou determinantem matice, nyní při přepisování výrazu máme

|sI-A| je také známé jako charakteristická rovnice, když je rovna nule.

Koncept vlastních hodnot a vlastních vektorů

Kořeny charakteristické rovnice, kterou jsme výše popsali, jsou známy jako vlastní hodnoty nebo vlastní hodnoty matice A.
Nyní existují některé vlastnosti související s vlastními hodnotami a tyto vlastnosti jsou napsány níže-

Daruji