Анализ на състоятелно пространство на системата за управление

Прежд да ви представя концепцията за анализ на състоянието на системата за управление, е много важно да обсъдим разликите между традиционната теория на системата за управление и модерната теория на системата за управление.

1. Традиционната теория на системата за управление е напълно основана на подхода в честотната област, докато модерната теория на системата за управление е основана на времевия подход.

2. В традиционната теория на системата за управление имаме линейни и неизменяеми во времето системи с един вход и един изход (SISO), но с помощта на модерната теория на системата за управление можем лесно да анализираме дори и нелинейни и променящи се во времето системи с многобройни входове и изходи (MIMO).

3. В модерната теория на системата за управление анализът на устойчивостта и времевата характеристика може лесно да се извърши както графично, така и аналитично.

Сега анализът на състоянието на системата за управление е основан на модерната теория, която е приложима към всички видове системи, като системи с един вход и един изход, системи с многобройни входове и изходи, линейни и нелинейни системи, променящи се во времето и неизменяеми во времето системи. Да разгледаме няколко основни термина, свързани с анализът на състоянието в модерната теория на системите за управление.

1. Състояние в анализът на състоянието : Това се отнася до най-малкото множество от променливи, чието знание в t = t0 заедно със знанието за входа за t ≥ t0 дава пълното знание за поведението на системата във всеки момент t ≥ t0.

2. Променливи на състоянието в анализът на състоянието : Това се отнася до най-малкото множество от променливи, които ни помагат да определим състоянието на динамичната система. Променливите на състоянието се дефинират от x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Вектор на състоянието : Ако са необходими n променливи на състоянието, за да се опише пълното поведение на дадена система, тогава тези n променливи на състоянието се считат за n компонента на вектор x(t). Такъв вектор се нарича вектор на състоянието.

4. Пространство на състоянието : Това се отнася до n-мерното пространство, което има ос x1, ос x2 ………ос xn.

Уравнения на състоянието

Нека изведем уравненията на състоянието за линейна и неизменяема во времето система.
Разглеждаме системи с многобройни входове и изходи, които имат r входа и m изхода.
Където, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
И m = y1, y2 ……….. ym.
Сега взимаме n променливи на състоянието, за да опишем дадената система, следователно n = x1, x2, ……….. xn.
Определяме векторите на входа и изхода като,
Транспониране на векторите на входа,

Където, T е транспониране на матрицата.

Транспониране на векторите на изхода,

Където, T е транспониране на матрицата.
Транспониране на векторите на състоянието,

Където, T е транспониране на матрицата.
Тези променливи са свързани с множество уравнения, които са записани по-долу и са известни като уравнения на състоянието

Представяне на модела на състоянието чрез функция на прехода

Декомпозиция : Това се дефинира като процесът на получаване на модела на състоянието от дадената функция на прехода. Сега можем да декомпозираме функцията на прехода по три различни начина:

1. Директна декомпозиция,

2. Последователна или паралелна декомпозиция,

3. Паралелна декомпозиция.

Във всички горепосочени методи на декомпозиция първо превръщаме дадената функция на прехода в диференциални уравнения, които също се наричат динамични уравнения. След превръщането в диференциални уравнения взимаме обратната Лапласова трансформация на горното уравнение, след което според типа на декомпозицията можем да създадем модел. Можем да представим всякакъв тип функция на прехода в модел на състоянието. Имаме различни видове модели, като електрически модели, механични модели и т.н.

Изразяване на матрицата на прехода чрез A, B, C и D. Дефинираме матрицата на прехода като Лапласова трансформация на изхода към Лапласова трансформация на входа.
Отново записвайки уравненията на състоянието и взимайки Лапласовата трансформация на двете уравнения (приемайки началните условия равни на нула) имаме

Можем да запишем уравнението като

Където, I е единична матрица.
Сега замествайки стойността на X(s) в уравнението Y(s) и полагайки D = 0 (т.е. е нулева матрица) имаме

Обратната матрица може да бъде заменена с допълнителната матрица, разделена на детерминантата на матрицата, след което на преработване на израза имаме

|sI-A| също е известен като характеристично уравнение, когато е приравнено на нула.

Концепция за собствени стойности и собствени вектори