Ανάλυση Χώρου Καταστάσεων του Συστήματος Ελέγχου

Τώρα, η ανάλυση χώρου καταστάσεων του συστήματος ελέγχου βασίζεται στη σύγχρονη θεωρία, η οποία είναι εφαρμόσιμη σε όλους τους τύπους συστημάτων, όπως συστήματα με μία είσοδο και μία έξοδο, συστήματα με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους, γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα, μεταβαλλόμενα και αμετάβλητα συστήματα. Ας εξετάσουμε λίγους βασικούς όρους που σχετίζονται με την ανάλυση χώρου καταστάσεων της σύγχρονης θεωρίας των συστημάτων ελέγχου.

1. Κατάσταση στην ανάλυση χώρου καταστάσεων : Αναφέρεται στο μικρότερο σύνολο μεταβλητών, της οποίας η γνώση στο t = t0 μαζί με τη γνώση της είσοδου για t ≥ t0 δίνει την πλήρη γνώση της συμπεριφοράς του συστήματος σε οποιαδήποτε στιγμή t ≥ t0.

2. Μεταβλητές κατάστασης στην ανάλυση χώρου καταστάσεων : Αναφέρεται στο μικρότερο σύνολο μεταβλητών που μας βοηθούν να καθορίσουμε την κατάσταση του δυναμικού συστήματος. Οι μεταβλητές κατάστασης ορίζονται από x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Διάνυσμα κατάστασης : Υποθέτουμε ότι υπάρχει η ανάγκη για n μεταβλητές κατάστασης για να περιγραφεί η πλήρης συμπεριφορά του δοθέν συστήματος, τότε αυτές οι n μεταβλητές κατάστασης θεωρούνται ως n συστατικά ενός διανύσματος x(t). Ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα κατάστασης.

4. Χώρος καταστάσεων : Αναφέρεται στο n-διάστατο χώρο που έχει άξονα x1, x2 ………xn.

Εξισώσεις Χώρου Καταστάσεων

Ας πάρουμε τις εξισώσεις χώρου καταστάσεων για ένα σύστημα που είναι γραμμικό και αμετάβλητο.
Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα με πολλές εισόδους και πολλές εξόδους, το οποίο έχει r εισόδους και m εξόδους.
Όπου, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Και m = y1, y2 ……….. ym.
Τώρα, παίρνουμε n μεταβλητές κατάστασης για να περιγράψουμε το δοθέν σύστημα, άρα n = x1, x2, ……….. xn.
Επίσης, ορίζουμε τα διανύσματα εισόδου και εξόδου ως,
Μετατροπή των διανυσμάτων εισόδου,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.

Μετατροπή των διανυσμάτων εξόδου,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.
Μετατροπή των διανυσμάτων κατάστασης,

Όπου, T είναι η μετατροπή του πίνακα.
Αυτές οι μεταβλητές συνδέονται από ένα σύνολο εξισώσεων, τις οποίες γράφουμε κάτω και είναι γνωστές ως εξισώσεις χώρου καταστάσεων

Αναπαράσταση του Μοντέλου Κατάστασης με Συνάρτηση Μεταφοράς

Ανάλυση : Ορίζεται ως ο προσδιορισμός του μοντέλου κατάστασης από τη δοθείσα συνάρτηση μεταφοράς. Τώρα, μπορούμε να αναπαράξουμε τη συνάρτηση μεταφοράς με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

1. Μετατροπή κατευθυνμένη,

2. Μετατροπή σε σειρά ή σε σειρά,

3. Παράλληλη μετατροπή.

Σε όλες τις παραπάνω μεθόδους ανάλυσης, πρώτα μετατρέπουμε τη δοθείσα συνάρτηση μεταφοράς σε διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες είναι επίσης γνωστές ως δυναμικές εξισώσεις. Μετά τη μετατροπή σε διαφορικές εξισώσεις, παίρνουμε την αντίστροφη μετατροπή Laplace της παραπάνω εξίσωσης, και σύμφωνα με τον τύπο της ανάλυσης, μπορούμε να δημιουργήσουμε το μοντέλο. Μπορούμε να αναπαράξουμε οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφοράς σε μοντέλο κατάστασης. Έχουμε διάφορα τύπους μοντέλων, όπως ηλεκτρικά μοντέλα, μηχανικά μοντέλα κλπ.

Εκφώνηση του Πίνακα Μεταφοράς σε όρους A, B, C και D. Ορίζουμε τον πίνακα μεταφοράς ως τη μετατροπή Laplace της εξόδου στη μετατροφή Laplace της είσοδου.
Γράφοντας ξανά τις εξισώσεις κατάστασης και παίρνοντας τη μετατροπή Laplace και των δύο εξισώσεων (υποθέτοντας ότι οι αρχικές σ