Analiza stanja sustava upravljanja

Prije nego što vam predstavim koncept analize stanja sustava upravljanja, vrlo je važno ovdje razgovarati o razlikama između konvencionalne teorije sustava upravljanja i moderne teorije sustava upravljanja.

1. Konvencionalna teorija upravljanja temeljena je potpuno na pristupu u domeni frekvencija, dok se moderna teorija upravljanja temelji na pristupu u vremenskoj domeni.

2. U konvencionalnoj teoriji upravljanja imamo samo linearni i vremenski invarijantni sustavi s jednim ulazom i jednim izlazom (SISO), ali pomoću teorije modernog upravljanja možemo lako analizirati čak i nelinearne i vremenski varijabilne sustave s više ulaza i više izlaza (MIMO).

3. U modernoj teoriji upravljanja analiza stabilnosti i analiza odziva u vremenu mogu se lako provesti i grafičkim i analitičkim metodom.

Sada analiza stanja sustava upravljanja temeljena je na modernoj teoriji koja se primjenjuje na sve vrste sustava, poput sustava s jednim ulazom i jednim izlazom, sustava s više ulaza i više izlaza, linearnih i nelinearnih sustava, vremenski varijabilnih i vremenski invarijantnih sustava. Razmotrimo nekoliko osnovnih termina vezanih za analizu stanja u modernoj teoriji sustava upravljanja.

1. Stanje u analizi stanja: Odnosi se na najmanji skup varijabli čije znanje u t = t0 zajedno s znanjem o ulazu za t ≥ t0 pruža kompletno znanje o ponašanju sustava u bilo kojem trenutku t ≥ t0.

2. Varijable stanja u analizi stanja: Odnose se na najmanji skup varijabli koji nam pomaže da odredimo stanje dinamičkog sustava. Varijable stanja definirane su kao x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vektor stanja: Ako je potreban n varijabli stanja kako bi se opisalo potpuno ponašanje danog sustava, te n varijable stanja smatraju se n komponentama vektora x(t). Taki vektor se naziva vektor stanja.

4. Prostor stanja: Odnosi se na n-dimenzionalni prostor s x1-osom, x2-osom ………xn-osom.

Jednadžbe prostora stanja

Izvedimo jednadžbe prostora stanja za sustav koji je linearan i vremenski invarijantan.
Razmotrimo sustav s više ulaza i više izlaza koji ima r ulaza i m izlaza.
Gdje, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
I m = y1, y2 ……….. ym.
Sada uzimamo n varijabli stanja kako bismo opisali dani sustav, stoga n = x1, x2, ……….. xn.
Također definiramo vektore ulaza i izlaza kao,
Transponirani vektori ulaza,

Gdje, T je transponirana matrica.

Transponirani vektori izlaza,

Gdje, T je transponirana matrica.
Transponirani vektori stanja,

Gdje, T je transponirana matrica.
Te varijable su povezane skupom jednadžbi koje su napisane ispod i poznate kao jednadžbe prostora stanja

Prikaz modela stanja pomoću funkcije prijenosa

Dekompozicija: Definira se kao proces dobivanja modela stanja iz date funkcije prijenosa. Sada možemo dekomponirati funkciju prijenosa na tri različita načina:

1. Direktna dekompozicija,

2. Kaskadna ili serijska dekompozicija,

3. Paralelna dekompozicija.

U svim gore navedenim metodama dekompozicije najprije pretvorimo datu funkciju prijenosa u diferencijalne jednadžbe koje se također zovu dinamičke jednadžbe. Nakon pretvorbe u diferencijalne jednadžbe uzet ćemo inverznu Laplaceova transformaciju gornje jednadžbe, a zatim, prema vrsti dekompozicije, možemo stvoriti model. Bilo koju vrstu funkcije prijenosa možemo prikazati u modelu stanja. Imamo razne vrste modela, poput električnog modela, mehaničkog modela itd.

Izraz matrice prijenosa u smislu A, B, C i D. Definiramo matricu prijenosa kao Laplaceova transformacija izlaza na Laplaceova transformacija ulaza.
Napišimo ponovno jednadžbe stanja i uzimajući Laplaceova transformacija obje jednadžbe stanja (pretpostavljajući da su početni uvjeti jednaki nuli) imamo

Možemo napisati jednadžbu kao

Gdje, I je jedinična matrica.
Sada zamjenjujući vrijednost X(s) u jednadžbi Y(s) i postavljajući D = 0 (znači to je prazna matrica) imamo

Inverz matrice može se zamijeniti adjungiranim matricama podijeljenim determinantom matrice, sada prepisujemo izraz

|sI-A| je također poznat kao karakteristična jednadžba kada je jednak nuli.

Koncept svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

Korijeni karakteristične jednadžbe koju smo opisali iznad poznati su kao svojstvene vrijednosti ili svojstvene vrijednosti matrice A.
Sada postoje neka svojstva vezana uz svojstvene vrijednosti, a ta svojstva su navedena ispod-

1. Bilo koja kvadratna matrica A i njena transponirana At imaju iste svojstvene vrijednosti.

2. Zbroj svojstvenih vrijednosti bilo koje matrice A jednak je tragu matrice A.

3. Umnož