Análisis del Espacio de Estados del Sistema de Control

Antes de introducirte al concepto de análisis del espacio de estados del sistema de control, es muy importante discutir aquí las diferencias entre la teoría convencional del sistema de control y la teoría moderna del sistema de control.

1. La teoría de control convencional se basa completamente en el enfoque del dominio de la frecuencia, mientras que la teoría de control moderna se basa en el enfoque del dominio del tiempo.

2. En la teoría convencional del sistema de control, solo tenemos sistemas lineales e invariantes en el tiempo con una entrada y una salida (SISO), pero con la ayuda de la teoría del sistema de control moderno, podemos analizar fácilmente incluso sistemas no lineales y variantes en el tiempo con múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).

3. En la teoría moderna del sistema de control, el análisis de estabilidad y la respuesta temporal se pueden realizar tanto gráficamente como analíticamente de manera muy sencilla.

Ahora, el análisis del espacio de estados del sistema de control se basa en la teoría moderna, que es aplicable a todo tipo de sistemas, como sistemas de una entrada y una salida, sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, sistemas lineales y no lineales, sistemas variantes y invariantes en el tiempo. Consideremos algunos términos básicos relacionados con el análisis del espacio de estados de la teoría moderna de los sistemas de control.

1. Estado en el Análisis del Espacio de Estados : Se refiere al conjunto más pequeño de variables cuyo conocimiento en t = t0 junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ t0 proporciona un conocimiento completo del comportamiento del sistema en cualquier tiempo t ≥ t0.

2. Variables de Estado en el Análisis del Espacio de Estados : Se refiere al conjunto más pequeño de variables que nos ayudan a determinar el estado del sistema dinámico. Las variables de estado se definen por x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vector de Estado : Supongamos que se requieren n variables de estado para describir el comportamiento completo del sistema dado, entonces estas n variables de estado se consideran n componentes de un vector x(t). Tal vector se conoce como vector de estado.

4. Espacio de Estados : Se refiere al espacio n-dimensional que tiene el eje x1, el eje x2 ………el eje xn.

Ecuaciones del Espacio de Estados

Derivemos las ecuaciones del espacio de estados para el sistema que es lineal e invariante en el tiempo.
Consideremos un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas que tiene r entradas y m salidas.
Donde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Y m = y1, y2 ……….. ym.
Ahora estamos tomando n variables de estado para describir el sistema dado, por lo tanto, n = x1, x2, ……….. xn.
También definimos los vectores de entrada y salida como,
Transposición de los vectores de entrada,

Donde, T es la transposición de la matriz.

Transposición de los vectores de salida,

Donde, T es la transposición de la matriz.
Transposición de los vectores de estado,

Donde, T es la transposición de la matriz.
Estas variables están relacionadas por un conjunto de ecuaciones que se escriben a continuación y se conocen como ecuaciones del espacio de estados

Representación del Modelo de Estado usando Función de Transferencia

Descomposición : Se define como el proceso de obtener el modelo de estado a partir de la función de transferencia dada. Ahora podemos descomponer la función de transferencia utilizando tres métodos diferentes:

1. Descomposición directa,

2. Descomposición en cascada o en serie,

3. Descomposición paralela.

En todos los métodos de descomposición anteriores, primero convertimos la función de transferencia dada en ecuaciones diferenciales, también llamadas ecuaciones dinámicas. Después de convertirlas en ecuaciones diferenciales, tomaremos la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, y luego, según el tipo de descomposición, podemos crear el modelo. Podemos representar cualquier tipo de función de transferencia en un modelo de estado. Tenemos varios tipos de modelos, como modelos eléctricos, mecánicos, etc.

Expresión de la Matriz de Transferencia en términos de A, B, C y D. Definimos la matriz de transferencia como la transformada de Laplace de la salida a la transformada de Laplace de la entrada.
Al escribir nuevamente las ecuaciones de estado y tomar la transformada de Laplace de ambas ecuaciones de estado (asumiendo condiciones iniciales iguales a cero), tenemos

Podemos escribir la ecuación como

Donde, I es una matriz identidad.
Ahora, sustituyendo el valor de X(s) en la ecuación Y(s) y poniendo D = 0 (lo que significa que es una matriz nula), tenemos

La inversa de la matriz se puede sustituir por el adjunto de la matriz dividido por el determinante de la matriz, ahora, reescribiendo la expresión, tenemos de

|sI-A| también se conoce como ecuación característica cuando se iguala a cero.

Concepto de Valores Propios y Vectores Propios

Las raíces de la ecuación característica que hemos descrito arriba se conocen como valores propios o valores propios de la matriz A.
Ahora, hay algunas propiedades relacionadas con los valores propios, y estas propiedades se escriben a continuación-

1. Cualquier matriz cuadrada A y su transpuesta At tienen los mismos valores propios.

2. La suma de los valores propios de cualquier matriz A es igual a la traza de la matriz A.

3. El producto de los valores propios de cualquier matriz A es igual al determinante de la matriz A.

4. Si multiplicamos una cantidad escalar a la matriz A, entonces los valores propios también se multiplican por el mismo valor escalar.

5. Si invertimos la matriz dada A, entonces sus valores propios también se invierten.

6. Si todos los elementos de la matriz son reales, entonces los valores propios correspondientes a esa matriz son ya sea reales o existen en pares conjugados complejos.