Анализ состояния системы управления

Прежде чем я расскажу вам о концепции анализа пространства состояний системы управления, очень важно обсудить здесь различия между традиционной теорией системы управления и современной теорией систем управления.

1. Традиционная теория управления полностью основана на подходе в частотной области, в то время как современная теория управления основана на подходе во временной области.

2. В традиционной теории управления мы имеем дело только с линейными и неизменяющимися по времени системами с одним входом и одним выходом (SISO), но с помощью теории современного управления мы можем легко провести анализ даже нелинейных и изменяющихся по времени систем с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO).

3. В современной теории управления анализ устойчивости и временных характеристик может быть проведен как графически, так и аналитически, очень легко.

Теперь анализ пространства состояний системы управления основан на современной теории, применимой ко всем типам систем, таким как системы с одним входом и одним выходом, системы с несколькими входами и несколькими выходами, линейные и нелинейные системы, системы, изменяющиеся и неизменяющиеся по времени. Рассмотрим несколько основных терминов, связанных с анализом пространства состояний современной теории систем управления.

1. Состояние в анализе пространства состояний: Это наименьший набор переменных, знание которых в момент t = t0 вместе с знанием входа для t ≥ t0 дает полное представление о поведении системы в любой момент времени t ≥ t0.

2. Переменные состояния в анализе пространства состояний: Это наименьший набор переменных, которые помогают нам определить состояние динамической системы. Переменные состояния определяются как x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Вектор состояния: Предположим, что требуется n переменных состояния для описания полного поведения данной системы, тогда эти n переменных состояния рассматриваются как n компонентов вектора x(t). Такой вектор называется вектором состояния.

4. Пространство состояний: Это n-мерное пространство, которое имеет ось x1, ось x2 ………ось xn.

Уравнения пространства состояний

Давайте выведем уравнения пространства состояний для линейной и неизменяющейся по времени системы.
Рассмотрим систему с несколькими входами и несколькими выходами, которая имеет r входов и m выходов.
Где, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
И m = y1, y2 ……….. ym.
Теперь мы берем n переменных состояния для описания данной системы, следовательно, n = x1, x2, ……….. xn.
Также мы определяем векторы входа и выхода как,
Транспонированный вектор входа,

Где, T - транспонированная матрица.

Транспонированный вектор выхода,

Где, T - транспонированная матрица.
Транспонированный вектор состояния,

Где, T - транспонированная матрица.
Эти переменные связаны набором уравнений, которые приведены ниже и известны как уравнения пространства состояний

Представление модели состояния с помощью передаточной функции

Декомпозиция: Это процесс получения модели состояния из заданной передаточной функции. Теперь мы можем декомпозировать передаточную функцию тремя разными способами:

1. Прямая декомпозиция,

2. Каскадная или последовательная декомпозиция,

3. Параллельная декомпозиция.

Во всех вышеупомянутых методах декомпозиции мы сначала преобразуем заданную передаточную функцию в дифференциальные уравнения, которые также называются динамическими уравнениями. После преобразования в дифференциальные уравнения мы возьмем обратное преобразование Лапласа от этих уравнений, затем, в зависимости от типа декомпозиции, мы можем создать модель. Мы можем представить любую передаточную функцию в виде модели состояния. У нас есть различные типы моделей, такие как электрическая модель, механическая модель и т.д.

Выражение матрицы передачи через A, B, C и D. Мы определяем матрицу передачи как преобразование Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа.
Записывая уравнения состояния снова и беря преобразование Лапласа от обоих уравнений состояния (предполагая, что начальные условия равны нулю), мы имеем

Можно записать уравнение как

Где, I - единичная матрица.
Теперь, подставляя значение X(s) в уравнение Y(s) и положив D = 0 (что означает, что это нулевая матрица), мы получаем

Обратная матрица может быть заменена при помощи деления присоединенной матрицы на детерминант матрицы, теперь, переписывая выражение, мы имеем

|sI-A| также известна как характеристическое уравнение, когда оно равно нулю.

Концепция собственных значений и собственных векторов

Корни характеристического уравнения, которое мы описали выше, известны как собственные значения или собственные значения матрицы A.
Теперь существуют некоторые свойства, связанные с собственными значениями, и эти свойства приведены ниже-

1. Любая квадратная матрица A и ее транспонированная At имеют одинаковые собственные значения.

2. Сумма собственных значений любой матрицы A равна следу матрицы A.

3. Произведение собственных значений любой матрицы A равно детерминанту матрицы A.

4. Если мы умножаем скалярное значение на матрицу A, то собственные значения также умножаются на то же значение скаляра.

5. Чаевые