Analisis Ruang Keadaan Sistem Kendali

Sebelum saya memperkenalkan konsep analisis ruang keadaan sistem kontrol, sangat penting untuk membahas perbedaan antara teori konvensional sistem kontrol dan teori modern sistem kontrol.

1. Teori kontrol konvensional sepenuhnya berbasis pada pendekatan domain frekuensi, sementara teori sistem kontrol modern berbasis pada pendekatan domain waktu.

2. Dalam teori kontrol sistem konvensional, kita hanya memiliki sistem masukan tunggal keluaran tunggal (SISO) yang linier dan invarian terhadap waktu, tetapi dengan bantuan teori sistem kontrol modern, kita dapat dengan mudah menganalisis bahkan sistem non-linier dan variabel terhadap waktu dengan beberapa masukan dan beberapa keluaran (MIMO).

3. Dalam teori sistem kontrol modern, analisis stabilitas dan respons waktu dapat dilakukan dengan mudah baik secara grafis maupun secara analitis.

Sekarang analisis ruang keadaan sistem kontrol didasarkan pada teori modern yang berlaku untuk semua jenis sistem seperti sistem masukan tunggal keluaran tunggal, sistem masukan ganda dan keluaran ganda, sistem linier dan non-linier, sistem variabel terhadap waktu dan invarian terhadap waktu. Mari kita pertimbangkan beberapa istilah dasar yang terkait dengan analisis ruang keadaan teori modern sistem kontrol.

1. Keadaan dalam Analisis Ruang Keadaan : Mengacu pada set variabel terkecil yang pengetahuannya pada t = t0 bersama dengan pengetahuan tentang masukan untuk t ≥ t0 memberikan pengetahuan lengkap tentang perilaku sistem pada setiap waktu t ≥ t0.

2. Variabel Keadaan dalam Analisis Ruang Keadaan : Mengacu pada set variabel terkecil yang membantu kita menentukan keadaan sistem dinamis. Variabel keadaan didefinisikan oleh x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vektor Keadaan : Jika dibutuhkan n variabel keadaan untuk mendeskripsikan perilaku lengkap sistem yang diberikan, maka n variabel keadaan tersebut dianggap sebagai n komponen vektor x(t). Vektor semacam itu dikenal sebagai vektor keadaan.

4. Ruang Keadaan : Merujuk pada ruang dimensi n yang memiliki sumbu x1, sumbu x2 ………sumbu xn.

Persamaan Ruang Keadaan

Mari kita turunkan persamaan ruang keadaan untuk sistem yang linier dan invarian terhadap waktu.
Mari kita pertimbangkan sistem dengan beberapa masukan dan beberapa keluaran yang memiliki r masukan dan m keluaran.
Di mana, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Dan m = y1, y2 ……….. ym.
Sekarang kita mengambil n variabel keadaan untuk mendeskripsikan sistem yang diberikan, jadi n = x1, x2, ……….. xn.
Kami juga mendefinisikan vektor masukan dan keluaran sebagai,
Transposisi vektor masukan,

Di mana, T adalah transposisi dari matriks.

Transposisi vektor keluaran,

Di mana, T adalah transposisi dari matriks.
Transposisi vektor keadaan,

Di mana, T adalah transposisi dari matriks.
Variabel-variabel ini saling terkait melalui satu set persamaan yang ditulis di bawah ini dan dikenal sebagai persamaan ruang keadaan

Representasi Model Keadaan menggunakan Fungsi Transfer

Decomposition : Didefinisikan sebagai proses mendapatkan model keadaan dari fungsi transfer yang diberikan. Sekarang kita dapat melakukan dekomposisi fungsi transfer dengan tiga cara berbeda:

1. Dekomposisi langsung,

2. Dekomposisi kaskade atau seri,

3. Dekomposisi paralel.

Dalam semua metode dekomposisi di atas, kami pertama-tama mengubah fungsi transfer yang diberikan menjadi persamaan diferensial yang juga disebut persamaan dinamis. Setelah diubah menjadi persamaan diferensial, kami akan mengambil invers transformasi Laplace dari persamaan di atas, kemudian sesuai dengan jenis dekomposisi, kita dapat membuat model. Kita dapat merepresentasikan jenis fungsi transfer apa pun dalam model keadaan. Kami memiliki berbagai jenis model seperti model elektrik, model mekanik, dll.

Ekspresi Matriks Transfer dalam hal A, B, C, dan D. Kami mendefinisikan matriks transfer sebagai transformasi Laplace keluaran terhadap transformasi Laplace masukan.
Dengan menulis kembali persamaan keadaan dan mengambil transformasi Laplace dari kedua persamaan keadaan (dengan asumsi kondisi awal sama dengan nol) kita memiliki

Kita dapat menulis persamaan sebagai

Di mana, I adalah matriks identitas.
Sekarang dengan mensubstitusikan nilai X(s) dalam persamaan Y(s) dan menetapkan D = 0 (berarti matriks null) kita memiliki

Invers matriks dapat diganti dengan adj matriks dibagi oleh determinan matriks, sekarang dengan menulis ulang ekspresi kita memiliki

|sI-A| juga dikenal sebagai persamaan karakteristik ketika disetel ke nol.

Konsep Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Akar-akar persamaan karakteristik yang telah kita jelaskan di atas dikenal sebagai nilai eigen atau nilai eigen matriks A.
Sekarang ada beberapa properti yang terkait dengan nilai eigen, dan properti-properti tersebut ditulis di bawah ini-

1. Setiap matriks persegi A dan transposisinya At memiliki nilai eigen yang sama.

2. Jumlah nilai eigen dari matriks A manapun sama dengan jejak matriks A.

3. Hasil kali nilai eigen dari matriks A manapun sama dengan determinan matriks A.

4. Jika kita mengalikan kuantitas skalar dengan matriks A, maka nilai eigen juga dikalikan dengan nilai skalar yang sama.

5. Jika kita menginvers matriks A yang diberikan, maka nilai eigennya juga terinvers.

6. Jika semua elemen matriks adalah nyata, maka nilai eigen yang bersesuaian dengan matriks tersebut juga nyata atau ada dalam pasangan konjugat