Analyse de l'espace d'état du système de contrôle
Avant de vous présenter le concept de l'analyse de l'espace d'état du système de contrôle, il est très important de discuter ici des différences entre la théorie conventionnelle du système de contrôle et la théorie moderne du système de contrôle.
La théorie conventionnelle de contrôle est entièrement basée sur l'approche du domaine fréquentiel, tandis que la théorie moderne du système de contrôle est basée sur l'approche du domaine temporel.
Dans la théorie conventionnelle du système de contrôle, nous avons uniquement des systèmes à entrée unique et sortie unique (SISO) linéaires et invariants dans le temps, mais avec l'aide de la théorie du système de contrôle moderne, nous pouvons facilement analyser même les systèmes non linéaires et variant dans le temps à multiples entrées et sorties (MIMO).
Dans la théorie moderne du système de contrôle, l'analyse de stabilité et l'analyse de réponse temporelle peuvent être réalisées par des méthodes graphiques et analytiques très facilement.
Maintenant, l'analyse de l'espace d'état du système de contrôle est basée sur la théorie moderne qui s'applique à tous types de systèmes comme les systèmes à entrée unique et sortie unique, les systèmes à multiples entrées et sorties, les systèmes linéaires et non linéaires, les systèmes variant et invariants dans le temps. Considérons quelques termes de base liés à l'analyse de l'espace d'état de la théorie moderne des systèmes de contrôle.
État dans l'analyse de l'espace d'état : Cela fait référence au plus petit ensemble de variables dont la connaissance à t = t0 en conjonction avec la connaissance de l'entrée pour t ≥ t0 fournit une connaissance complète du comportement du système à tout moment t ≥ t0.
Variables d'état dans l'analyse de l'espace d'état : Cela fait référence au plus petit ensemble de variables qui nous aident à déterminer l'état du système dynamique. Les variables d'état sont définies par x1(t), x2(t)……..Xn(t).
Vecteur d'état : Supposons qu'il faille n variables d'état pour décrire le comportement complet du système donné, alors ces n variables d'état sont considérées comme n composantes d'un vecteur x(t). Un tel vecteur est connu sous le nom de vecteur d'état.
Espace d'état : Il fait référence à l'espace n-dimensionnel qui a un axe x1, un axe x2 ………un axe xn.
Équations de l'espace d'état
Développons les équations de l'espace d'état pour un système qui est linéaire et invariant dans le temps.
Considérons un système à multiples entrées et sorties qui a r entrées et m sorties.
Où, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Et m = y1, y2 ……….. ym.
Maintenant, nous prenons n variables d'état pour décrire le système donné, donc n = x1, x2, ……….. xn.
Nous définissons également les vecteurs d'entrée et de sortie comme,
Transposée des vecteurs d'entrée,
Où, T est la transposée de la matrice.
Transposée des vecteurs de sortie,
Où, T est la transposée de la matrice.
Transposée des vecteurs d'état,
Où, T est la transposée de la matrice.
Ces variables sont liées par un ensemble d'équations qui sont écrites ci-dessous et sont connues sous le nom d'équations de l'espace d'état
Représentation du modèle d'état en utilisant la fonction de transfert
Décomposition : C'est le processus consistant à obtenir le modèle d'état à partir de la fonction de transfert donnée. Nous pouvons décomposer la fonction de transfert de trois manières différentes :
Décomposition directe,
Décomposition en cascade ou en série,
Décomposition parallèle.
Dans toutes les méthodes de décomposition ci-dessus, nous convertissons d'abord la fonction de transfert donnée en équations différentielles, également appelées équations dynamiques. Après avoir converti en équations différentielles, nous prenons la transformée de Laplace inverse de l'équation ci-dessus, puis, selon le type de décomposition, nous pouvons créer un modèle. Nous pouvons représenter n'importe quel type de fonction de transfert dans un modèle d'état. Nous avons divers types de modèles comme le modèle électrique, le modèle mécanique, etc.
Expression de la matrice de transfert en termes de A, B, C et D. Nous définissons la matrice de transfert comme la transformée de Laplace de la sortie à la transformée de Laplace de l'entrée.
En réécrivant les équations d'état et en prenant la transformée de Laplace des deux équations d'état (en supposant que les conditions initiales sont égales à zéro), nous avons
Nous pouvons écrire l'équation comme
Où, I est une matrice identité.
Maintenant, en substituant la valeur de X(s) dans l'équation Y(s) et en posant D = 0 (c'est-à-dire une matrice nulle), nous avons
L'inverse de la matrice peut être remplacé par l'adjoint de la matrice divisé par le déterminant de la matrice, en réécrivant l'expression, nous avons
|sI-A| est également connue sous le nom d'équation caractéristique lorsqu'elle est égalée à zéro.
Concept des valeurs propres et vecteurs propres
Les racines de l'équation caractéristique que nous avons décrite ci-dessus sont connues sous le nom de valeurs propres ou valeurs propres de la matrice A.
Maintenant, il existe certaines propriétés liées aux valeurs propres, et ces propriétés sont écrites ci-dessous-
Toute matrice carrée A et sa transposée At ont les mêmes valeurs propres.
La somme des valeurs propres de toute matrice A est égale à la trace de la matrice A.
Le produit des valeurs propres de toute matrice A est égal au déterminant de la matrice A.
Si nous multiplions une quantité scalaire par la matrice A, alors les valeurs propres sont également multipliées par la même valeur scalaire.
Si nous inversons la matrice A donnée, ses valeurs propres sont également inversées.
