Analisis ng State Space ng System ng Control

Bago ipakilala sa iyo ang konsepto ng state space analysis of control system, napakahalaga na talakayin dito ang mga pagkakaiba sa pagitan ng tradisyonal na teorya ng control system at modernong teorya ng control system.

1. Ang tradisyonal na teorya ng kontrol ay ganap na batay sa pamamaraang frequency domain samantalang ang modernong teorya ng kontrol system ay batay sa time domain approach.

2. Sa tradisyonal na teorya ng kontrol system, mayroon tayong linear at time invariant single input single output (SISO) systems lamang, ngunit sa tulong ng teorya ng modernong kontrol system, madali nating maaaring gawin ang analisis ng kahit anong non-linear at time variant multiple inputs multiple outputs (MIMO) systems.

3. Sa modernong teorya ng kontrol system, ang stability analysis at time response analysis maaaring gawin sa parehong graphical at analytical method nang madali.

Ngayon, ang state space analysis of control system ay batay sa modernong teorya na applicable sa lahat ng uri ng sistema tulad ng single input single output systems, multiple inputs and multiple outputs systems, linear at non-linear systems, time varying at time invariant systems. Tuklasin natin ang ilang pangunahing termino na may kaugnayan sa state space analysis ng modernong teorya ng kontrol system.

1. State sa State Space Analysis : Ito tumutukoy sa pinakamaliit na set ng mga variable kung saan ang kaalaman nito sa t = t0 kasama ang kaalaman ng input para sa t ≥ t0 ay nagbibigay ng buong kaalaman tungkol sa pag-uugali ng sistema sa anumang oras t ≥ t0.

2. State Variables sa State Space Analysis : Ito tumutukoy sa pinakamaliit na set ng mga variable na tumutulong sa amin upang matukoy ang estado ng dynamic system. Ang mga state variables ay inilalarawan ng x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. State Vector : Kung mayroong nang kailangan ng n state variables upang ilarawan ang buong pag-uugali ng ibinigay na sistema, ang mga n state variables na ito ay itinuturing bilang n components ng vector x(t). Ang ganitong uri ng vector ay kilala bilang state vector.

4. State Space : Ito tumutukoy sa n dimensional space na may x1 axis, x2 axis ………xn axis.

Mga Ekwasyon ng State Space

Hayaan nating deribahin ang mga ekwasyon ng state space para sa sistema na linear at time invariant.
Tuklasin natin ang multiple inputs at multiple outputs system na may r inputs at m outputs.
Kung saan, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
At m = y1, y2 ……….. ym.
Ngayon, kami ay kumuha ng n state variables upang ilarawan ang ibinigay na sistema, kaya n = x1, x2, ……….. xn.
Patuloy namin din ang paglalarawan ng input at output vectors bilang,
Transpose ng input vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.

Transpose ng output vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.
Transpose ng state vectors,

Kung saan, T ang transpose ng matrix.
Ang mga variable na ito ay may kaugnayan sa isang set ng mga ekwasyon na isinulat sa ibaba at kilala bilang state space equations

Pagpapakita ng State Model Gamit ang Transfer Function

Decomposition : Ito ay inilalarawan bilang proseso ng pagkuha ng state model mula sa ibinigay na transfer function. Ngayon, maaari nating idecompose ang transfer function gamit ang tatlong magkaibang paraan:

1. Direct decomposition,

2. Cascade o series decomposition,

3. Parallel decomposition.

Sa lahat ng itong mga paraan ng decomposition, una nating ikokonberte ang ibinigay na transfer function sa mga differential equations na tinatawag ding dynamic equations. Pagkatapos ng ikokonberte sa mga differential equations, kukunin natin ang inverse Laplace transform ng itaas na ekwasyon, at depende sa uri ng decomposition, maaari nating lumikha ng modelo. Maaari nating ilarawan ang anumang uri ng transfer function sa state model. Mayroon tayong iba't ibang uri ng modelo tulad ng electrical model, mechanical model, atbp.

Pagpapahayag ng Transfer Matrix sa mga termino ng A, B, C, at D. Inilalarawan natin ang transfer matrix bilang Laplace transform ng output sa Laplace transform ng input.
Sa pagsulat muli ng mga state equations at pagkuha ng Laplace transform ng parehong state equation (na asuming na ang initial conditions ay zero) mayroon tayo

Maaari nating isulat ang ekwasyon bilang

Kung saan, I ang identity matrix.
Ngayon, sa pagsasalitla ng halaga ng X(s) sa ekwasyon ng Y(s) at paglagay ng D = 0 (na ibig sabihin ay isang null matrix) mayroon tayo

Ang inverse ng matrix maaaring isalin sa adj ng matrix na hinati sa determinant ng matrix, ngayon sa pag-rewrite ng expression, mayroon tayo ng

|sI-A| ay kilala rin bilang characteristic equation kapag itinapat sa zero.

Konsepto ng Eigen Values at Eigen Vectors

Ang mga ugat ng characteristic equation na inilarawan natin sa itaas ay kilala bilang eigen values o eigen values ng matrix A.
Ngayon, mayroon tayong ilang katangian na may kaugnayan sa eigen values at ang mga katangian na ito ay isinulat sa ibaba-

1. Ang anumang square matrix A at ang kanyang transpose At ay may parehong eigen values.

2. Ang suma ng eigen values ng anumang matrix A ay katumbas ng trace ng matrix A.

3. Ang produkto ng eigen values ng anumang matrix A ay katumbas ng determinant ng matrix A.

4. Kung imumultiply natin ang isang scalar quantity sa matrix A, ang eigen values ay din imumultiply ng parehong halaga ng scalar.

5. Kung ininverse natin ang ibinigay na matrix A, ang eigen values nito ay din ininverse.

6. Pabor