Analiza przestrzeni stanów systemu sterowania

Zanim wprowadzę Cię w koncepcję analizy przestrzeni stanów systemu sterowania, jest bardzo ważne, aby omówić różnice między konwencjonalną teorią systemu sterowania a nowoczesną teorią systemu sterowania.

1. Konwencjonalna teoria sterowania opiera się całkowicie na podejściu w dziedzinie częstotliwości, podczas gdy nowoczesna teoria systemu sterowania opiera się na podejściu w dziedzinie czasu.

2. W konwencjonalnej teorii systemu sterowania mamy tylko liniowe i niezależne od czasu systemy jednokanałowe (SISO), ale dzięki teorii nowoczesnego systemu sterowania możemy łatwo analizować nawet nieliniowe i zależne od czasu systemy wielokanałowe (MIMO).

3. W nowoczesnej teorii systemu sterowania analiza stabilności i odpowiedzi czasowej może być wykonana zarówno graficznie, jak i analitycznie, z łatwością.

Teraz analiza przestrzeni stanów systemu sterowania opiera się na nowoczesnej teorii, która ma zastosowanie do wszystkich typów systemów, takich jak systemy jednokanałowe, systemy wielokanałowe, systemy liniowe i nieliniowe, systemy zmienne i niezmiennicze w czasie. Rozważmy kilka podstawowych terminów związanych z analizą przestrzeni stanów nowoczesnej teorii systemów sterowania.

1. Stan w analizie przestrzeni stanów : Odnosi się do najmniejszego zestawu zmiennych, którego znajomość w momencie t = t0 wraz z informacją o wejściu dla t ≥ t0 daje pełną wiedzę o zachowaniu systemu w dowolnym momencie t ≥ t0.

2. Zmienne stanu w analizie przestrzeni stanów : Odnoszą się do najmniejszego zestawu zmiennych, które pomagają nam określić stan dynamicznego systemu. Zmienne stanu są definiowane przez x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Wektor stanu : Jeśli potrzeba n zmiennych stanu, aby opisać pełne zachowanie danego systemu, te n zmiennych stanu są uznawane za n składowe wektora x(t). Taki wektor nazywa się wektorem stanu.

4. Przestrzeń stanu : Odnosi się do n-wymiarowej przestrzeni, która ma oś x1, oś x2 ………oś xn.

Równania przestrzeni stanów

Wyprowadźmy równania przestrzeni stanów dla systemu, który jest liniowy i niezmienny w czasie.
Zastanówmy się nad systemem wielokanałowym, który ma r wejść i m wyjść.
Gdzie, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
A m = y1, y2 ……….. ym.
Teraz bierzemy n zmiennych stanu, aby opisać dany system, więc n = x1, x2, ……….. xn.
Definiujemy również wektory wejściowe i wyjściowe jako,
Transpozycja wektorów wejściowych,

Gdzie, T jest transpozycją macierzy.

Transpozycja wektorów wyjściowych,

Gdzie, T jest transpozycją macierzy.
Transpozycja wektorów stanu,

Gdzie, T jest transpozycją macierzy.
Te zmienne są powiązane przez zestaw równań, które są napisane poniżej i znane są jako równania przestrzeni stanów

Reprezentacja modelu stanowego przy użyciu funkcji przenoszenia

Dekompozycja : Definiuje się ją jako proces uzyskiwania modelu stanowego z danej funkcji przenoszenia. Teraz możemy dekomponować funkcję przenoszenia na trzy różne sposoby:

1. Bezpośrednia dekompozycja,

2. Kaskadowa lub szeregowa dekompozycja,

3. Równoległa dekompozycja.

We wszystkich powyższych metodach dekompozycji najpierw przekształcamy daną funkcję przenoszenia w równania różniczkowe, które nazywane są także równaniami dynamicznymi. Po przekształceniu w równania różniczkowe bierzemy odwrotną transformację Laplace'a powyższego równania, a następnie, w zależności od rodzaju dekompozycji, tworzymy model. Możemy reprezentować dowolny typ funkcji przenoszenia w modelu stanowym. Mamy różne typy modeli, takie jak modele elektryczne, mechaniczne itp.

Wyrażenie macierzy przekazywania w zależności od A, B, C i D. Definiujemy macierz przekazywania jako transformację Laplace'a wyjścia do transformacji Laplace'a wejścia.
Pisząc ponownie równania stanu i biorąc transformację Laplace'a obu równań stanu (przyjmując warunki początkowe równe zero) mamy

Możemy zapisać równanie jako

Gdzie, I jest macierzą jednostkową.
Podstawiając wartość X(s) w równaniu Y(s) i zakładając, że D = 0 (czyli jest to macierz zerowa) mamy

Odwrotność macierzy można zastąpić dopełnieniem macierzy podzielonym przez wyznacznik macierzy, teraz przepisując wyrażenie mamy

|sI-A| jest również znane jako równanie charakterystyczne, gdy przyrównane do zera.

Koncepcja wartości własnych i wektorów własnych

Pierwiastki równania charakterystycznego, które opisaliśmy powyżej, są znane jako wartości własne lub wartości własne macierzy A.
Obecnie istnieją pewne właściwości związane z wartościami własnymi, a te właściwości są wymienione poniżej-

1. Dowolna macierz kwadratowa A i jej transpozycja At mają takie same wartości własne.

2. Suma wartości własnych dowolnej macierzy A jest równa śladowi macierzy A.

3. Iloczyn wartości własnych dowolnej macierzy A jest równy wyznacznikowi macierzy A.

4. Jeśli pomnożymy skalarną ilość przez mac