Análise do Espazo de Estados do Sistema de Control

Antes de introducir o concepto de análise do espazo de estado do sistema de control, é moi importante discutir aquí as diferenzas entre a teoría convencional do sistema de control e a teoría moderna do sistema de control.

1. A teoría convencional de control basease completamente no enfoque no dominio da frecuencia, mentres que a teoría moderna do sistema de control basease no enfoque no dominio do tempo.

2. Na teoría convencional do sistema de control temos sistemas lineares e invariantes no tempo de entrada única e saída única (SISO) só, pero coa axuda da teoría do sistema de control moderno podemos facer facilmente a análise incluso de sistemas non lineares e variantes no tempo de múltiples entradas e múltiples saídas (MIMO).

3. Na teoría moderna do sistema de control, a análise de estabilidade e a análise de resposta temporal poden facerse facilmente tanto por métodos gráficos como analíticos.

Agora a análise do espazo de estado do sistema de control basease na teoría moderna, que é aplicable a todos os tipos de sistemas, como sistemas de entrada única e saída única, sistemas de múltiples entradas e múltiples saídas, sistemas lineares e non lineares, sistemas variantes e invariantes no tempo. Consideremos algúns termos básicos relacionados coa análise do espazo de estado da teoría moderna dos sistemas de control.

1. Estado na análise do espazo de estado : Refírese ao conxunto máis pequeno de variables cuxo coñecemento en t = t0 xunto co coñecemento da entrada para t ≥ t0 fornece o coñecemento completo do comportamento do sistema en calquera momento t ≥ t0.

2. Variables de estado na análise do espazo de estado : Refírese ao conxunto máis pequeno de variables que nos axudan a determinar o estado do sistema dinámico. As variables de estado defínense por x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vector de estado : Supoñamos que hai unha necesidade de n variables de estado para describir o comportamento completo do sistema dado, entón estas n variables de estado consideranse como n compoñentes dun vector x(t). Este tipo de vector coñécese como vector de estado.

4. Espazo de estado : Refírese ao espazo n-dimensional que ten o eixo x1, o eixo x2 ………o eixo xn.

Ecuacións do espazo de estado

Derivemos as ecuacións do espazo de estado para o sistema que é linear e invariante no tempo.
Consideremos un sistema de múltiples entradas e múltiples saídas que ten r entradas e m saídas.
Onde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
E m = y1, y2 ……….. ym.
Agora estamos a tomar n variables de estado para describir o sistema dado, polo que n = x1, x2, ……….. xn.
Tambén definimos os vectores de entrada e saída como,
Transposta dos vectores de entrada,

Onde, T é a transposta da matriz.

Transposta dos vectores de saída,

Onde, T é a transposta da matriz.
Transposta dos vectores de estado,

Onde, T é a transposta da matriz.
Estas variables están relacionadas por un conxunto de ecuacións que se escriben a continuación e coñécense como ecuacións do espazo de estado

Representación do modelo de estado usando a función de transferencia

Descomposición : Defínese como o proceso de obter o modelo de estado a partir da función de transferencia dada. Agora podemos descompor a función de transferencia de tres formas diferentes:

1. Descomposición directa,

2. Descomposición en cascada ou en serie,

3. Descomposición paralela.

En todos os métodos de descomposición mencionados, primeiro convertemos a función de transferencia dada en ecuacións diferenciais, tamén chamadas ecuacións dinámicas. Despois de converter en ecuacións diferenciais, tomaremos a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, e segundo o tipo de descomposición, podemos crear o modelo. Podemos representar calquera tipo de función de transferencia no modelo de estado. Temos varios tipos de modelos, como modelos eléctricos, mecánicos, etc.

Expresión da matriz de transferencia en termos de A, B, C e D. Definimos a matriz de transferencia como a transformada de Laplace da saída á transformada de Laplace da entrada.
Ao escribir as ecuacións de estado de novo e tomar a transformada de Laplace de ambas as ecuacións de estado (asumindo condicións iniciais iguais a cero) temos

Podemos escribir a ecuación como

Onde, I é unha matriz identidade.
Agora substituíndo o valor de X(s) na ecuación Y(s) e colocando D = 0 (significa que é unha matriz nula) temos

A inversa da matriz pode substituirse pola adjunta da matriz dividida polo determinante da matriz, agora reescribindo a expresión temos de

|sI-A| tamén coñécese como ecuación característica cando se iguala a cero.

Concepto de valores propios e vectores propios

As raíces da ecuación característica que describimos arriba coñécense como valores propios ou valores propios da matriz A.
Agora hai algúns propiedades relacionadas cos valores propios e estas propiedades escribense a continuación-

1. Calquera matriz cadrada A e a súa transposta At teñen os mesmos valores propios.

2. A suma dos valores propios de calquera matriz A é igual á traza da matriz A.

3. O produto dos valores propios de calquera matriz A é igual ao determinante da matriz A.

4. Se multiplicamos unha cantidade escalar á matriz A, entón os valores propios tamén se multiplican polo mesmo valor escalar.

5. Se invertimos a matriz dada A, entón os seus valores propios tamén se invierten.

6. Se todos os elementos da matriz son reais, entón os valores propios correspondentes a esa matriz son reais ou existen en pares conjugados complexos.