Tilstandsrumanalyse af styresystem

Inden jeg introducerer dig for konceptet tilstandsrumanalyse af styresystemer, er det meget vigtigt at diskutere forskellene mellem den konventionelle teori om styresystemer og den moderne teori om styresystemer.

1. Den konventionelle styringsteori er helt baseret på frekvensdomæneapproksen, mens den moderne styringsteori er baseret på tidsdomæneapproksen.

2. I den konventionelle styringsteori har vi kun lineære og tidsinvariante systemer med enkelt indgang og enkelt udgang (SISO), men med hjælp fra den moderne styringsteori kan vi nemt analysere endda ikke-lineære og tidsvarianter systemer med flere indgange og flere udgange (MIMO).

3. I den moderne styringsteori kan stabilitetsanalyse og tidsresponsanalyse udføres både grafisk og analytisk meget let.

Nu er tilstandsrumanalyse af styresystemer baseret på den moderne teori, som er anvendelig på alle typer systemer som SISO-systemer, MIMO-systemer, lineære og ikke-lineære systemer, tidsvariable og tidsinvariante systemer. Lad os overveje nogle grundlæggende termer relateret til tilstandsrumanalyse i den moderne teori om styresystemer.

1. Tilstand i tilstandsrumanalyse : Det refererer til den mindste mængde variabler, hvis kendskab ved t = t0 sammen med kendskabet til indgangen for t ≥ t0 giver fuld kendskab til systemets adfærd ved ethvert tidspunkt t ≥ t0.

2. Tilstandsvariable i tilstandsrumanalyse : Det refererer til den mindste mængde variable, der hjælper os med at bestemme tilstanden af det dynamiske system. Tilstandsvariable defineres som x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Tilstandsvektor : Hvis der kræves n tilstandsvariable for at beskrive det fulde adfærd af det givne system, betragtes disse n tilstandsvariable som n komponenter af en vektor x(t). En sådan vektor kaldes tilstandsvektor.

4. Tilstandsrum : Det refererer til det n-dimensionale rum, der har x1 akse, x2 akse ………xn akse.

Tilstandsrumsligninger

Lad os udlede tilstandsrumsligninger for systemet, som er lineært og tidsinvariant.
Lad os overveje et system med flere indgange og flere udgange, der har r indgange og m udgange.
Hvor, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
Og m = y1, y2 ……….. ym.
Nu tager vi n tilstandsvariable for at beskrive det givne system, så n = x1, x2, ……….. xn.
Og vi definerer også indgangs- og udgangsvektorer som,
Transponering af indgangsvektorer,

Hvor, T er transponering af matricen.

Transponering af udgangsvektorer,

Hvor, T er transponering af matricen.
Transponering af tilstandsvektorer,

Hvor, T er transponering af matricen.
Disse variable er relateret ved en sætning ligninger, som er skrevet nedenfor og kendes som tilstandsrumsligninger

Repræsentation af tilstandsmodel ved hjælp af overførselsfunktion

Decomposition : Det defineres som processen med at opnå tilstandsmodellen fra den givne overførselsfunktion. Nu kan vi dekomponere overførselsfunktionen på tre forskellige måder:

1. Direkte dekomposition,

2. Kaskade eller serie dekomposition,

3. Parallel dekomposition.

I alle de ovenstående dekompositionsmetoder konverterer vi først den givne overførselsfunktion til differentialligninger, som også kaldes dynamiske ligninger. Efter konvertering til differentialligninger tager vi invers Laplace-transformation af ovenstående ligning, og derefter kan vi oprette model efter type dekomposition. Vi kan repræsentere enhver type overførselsfunktion i tilstandsmodel. Vi har forskellige typer modeller som elektriske modeller, mekaniske modeller osv.

Udtryk for overførselsmatrix i forhold til A, B, C og D. Vi definerer overførselsmatrix som Laplace-transformation af udgang til Laplace-transformation af indgang.
Ved at skrive tilstands-ligninger igen og tage Laplace-transformation af begge tilstands-ligninger (med antagelse af, at de initielle betingelser er lig med nul) har vi

Vi kan skrive ligningen som

Hvor, I er en identitetsmatrix.
Nu ved at indsætte værdien af X(s) i ligningen Y(s) og sætte D = 0 (det vil sige, at det er en nulmatrix) har vi

Inversen af matrix kan erstattes af adj af matrix divideret med determinanten af matrix, nu ved at omskrive udtrykket har vi af

|sI-A| er også kendt som karakteristisk ligning, når den sættes lig med nul.

Konceptet om egenværdier og egenvæktorer

Rødderne af den karakteristiske ligning, som vi har beskrevet ovenfor, er kendt som egenværdier eller egenværdier af matrix A.
Nu er der nogle egenskaber relateret til egenværdier, og disse egenskaber er skrevet nedenfor-

1. Enhver kvadratisk matrix A og dens transponering At har de samme egenværdier.

2. Summen af egenværdierne af enhver matrix A er lig med sporet af matrix A.

3. Produktet af egenværdierne af enhver matrix A er lig med determinanten af matrix A.

4. Hvis vi ganger en skalar størrelse med matrix A, bliver egenværdierne også ganget med samme skalarværdi.

5. Hvis vi inverterer den givne matrix A, bliver dens egenværdier også inverteret.

6. Hvis alle elementer i matricen er re