دستگاه کنترلی دامنه حالت تحلیل

قبل از آشنایی شما با مفهوم تحلیل فضای حالت سیستم کنترل، بسیار مهم است که در اینجا تفاوت‌های بین نظریه سنتی سیستم کنترل و نظریه مدرن سیستم کنترل را بررسی کنیم.

1. نظریه کنترل سنتی به طور کامل بر پایه رویکرد دامنه فرکانسی استوار است در حالی که نظریه کنترل مدرن بر پایه رویکرد دامنه زمانی استوار است.

2. در نظریه کنترل سنتی فقط سیستم‌های خطی و ثابت زمانی با ورودی و خروجی تک‌گانه (SISO) وجود دارد، اما با کمک نظریه کنترل مدرن می‌توان به راحتی تحلیل سیستم‌های غیرخطی و متغیر زمانی با چندین ورودی و خروجی (MIMO) را انجام داد.

3. در نظریه کنترل مدرن تحلیل پایداری و پاسخ زمانی می‌تواند به راحتی با هر دو روش گرافیکی و تحلیلی انجام شود.

حالا تحلیل فضای حالت سیستم کنترل بر پایه نظریه مدرن است که به تمام انواع سیستم‌ها مانند سیستم‌های با ورودی و خروجی تک‌گانه، سیستم‌های با چندین ورودی و خروجی، سیستم‌های خطی و غیرخطی، سیستم‌های متغیر و ثابت زمانی قابل اعمال است. بیایید چند مورد اساسی مربوط به تحلیل فضای حالت نظریه مدرن سیستم‌های کنترل را بررسی کنیم.

1. حالت در تحلیل فضای حالت : به کوچک‌ترین مجموعه متغیرها اشاره دارد که دانستن آن‌ها در t = t0 همراه با دانستن ورودی برای t ≥ t0 اطلاعات کامل رفتار سیستم را در هر زمان t ≥ t0 فراهم می‌کند.

2. متغیرهای حالت در تحلیل فضای حالت : به کوچک‌ترین مجموعه متغیرها اشاره دارد که به ما کمک می‌کند حالت یک سیستم دینامیکی را تعیین کنیم. متغیرهای حالت با x1(t), x2(t)……..Xn(t) تعریف می‌شوند.

3. بردار حالت : فرض کنید نیاز به n متغیر حالت برای توصیف کامل رفتار سیستم داده شده وجود دارد، آنگاه این n متغیر حالت به عنوان n مؤلفه یک بردار x(t) در نظر گرفته می‌شوند. چنین برداری به عنوان بردار حالت شناخته می‌شود.

4. فضای حالت : به فضای n بعدی اشاره دارد که محورهای x1, x2 ………xn دارد.

معادلات فضای حالت

بیایید معادلات فضای حالت را برای یک سیستم خطی و ثابت زمانی بدست آوریم.
بیایید یک سیستم با چندین ورودی و خروجی را در نظر بگیریم که r ورودی و m خروجی دارد.
که، r = u1, u2, u3 ……….. ur.
و m = y1, y2 ……….. ym.
حالا ما n متغیر حالت را برای توصیف سیستم داده شده در نظر می‌گیریم بنابراین n = x1, x2, ……….. xn.
همچنین ما بردارهای ورودی و خروجی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم،
تранهاده بردارهای ورودی،

که T ترانهاده ماتریس است.

ترانهاده بردارهای خروجی،

که T ترانهاده ماتریس است.
ترانهاده بردارهای حالت،

که T ترانهاده ماتریس است.
این متغیرها با یک مجموعه معادلات که در زیر نوشته شده‌اند و به عنوان معادلات فضای حالت شناخته می‌شوند مرتبط هستند

نمایش مدل حالت با استفاده از تابع انتقال

تجزیه : به فرآیند به دست آوردن مدل حالت از تابع انتقال داده شده اشاره دارد. حالا می‌توانیم تابع انتقال را با سه روش مختلف تجزیه کنیم:

1. تجزیه مستقیم،

2. تجزیه متوالی یا سری،

3. تجزیه موازی.

در تمام روش‌های تجزیه فوق، ابتدا تابع انتقال داده شده را به معادلات دیفرانسیل که همچنین به عنوان معادلات دینامیکی شناخته می‌شوند تبدیل می‌کنیم. پس از تبدیل به معادلات دیفرانسیل، تبدیل لاپلاس معکوس معادله بالا را می‌گیریم، سپس متناسب با نوع تجزیه می‌توانیم مدل ایجاد کنیم. می‌توانیم هر نوع تابع انتقال را در مدل حالت نمایش دهیم. ما انواع مختلفی از مدل‌ها مانند مدل الکتریکی، مدل مکانیکی و غیره داریم.

بیان ماتریس انتقال به صورت A، B، C و D. ما ماتریس انتقال را به عنوان تبدیل لاپلاس خروجی به تبدیل لاپلاس ورودی تعریف می‌کنیم.
با نوشتن مجدد معادلات حالت و گرفتن تبدیل لاپلاس از هر دو معادله حالت (با فرض شرایط اولیه صفر) داریم

می‌توانیم معادله را به صورت زیر بنویسیم

که I یک ماتریس همانی است.
حالا با جایگذاری مقدار X(s) در معادله Y(s) و قرار دادن D = 0 (يعنی یک ماتریس صفر) داریم

معکوس ماتریس می‌تواند با تقسیم آدژوانت ماتریس بر دترمینان ماتریس جایگزین شود، حالا با بازنویسی عبارت داریم

|sI-A| نیز به عنوان معادله مشخصه شناخته می‌شود وقتی به صفر مساوی می‌شود.

مفهوم مقادیر ویژه و بردارهای ویژه