Analiza stanja sistema upravljanja

Prije nego što vam predstavim pojam analize stanja prostora kontrolnog sistema, veoma je važno ovdje razmotriti razlike između konvencionalne teorije kontrolnog sistema i moderne teorije kontrolnog sistema.

1. Konvencionalna teorija kontrola potpuno se zasniva na pristupu u frekvencijskom domenu, dok se moderna teorija kontrolnog sistema zasniva na pristupu u vremenskom domenu.

2. U konvencionalnoj teoriji kontrolnog sistema imamo samo linearni i vremenski invarijantni sistemi s jednim ulazom i jednim izlazom (SISO), ali pomoću teorije moderne kontrolne tehnike može se lako analizirati čak i nelinearni i vremenski varijabilni sistemi s više ulaza i više izlaza (MIMO).

3. U modernoj teoriji kontrolnog sistema analiza stabilnosti i analiza odgovora na vreme mogu se vrlo lako izvršiti i grafičkim i analitičkim metodama.

Sada analiza stanja prostora kontrolnog sistema zasnovana je na modernoj teoriji koja se primenjuje na sve vrste sistema, kao što su sistemi s jednim ulazom i jednim izlazom, sistemi s više ulaza i više izlaza, linearni i nelinearni sistemi, vremenski promenljivi i vremenski invarijantni sistemi. Razmotrimo nekoliko osnovnih termina vezanih za analizu stanja prostora moderne teorije kontrolnih sistema.

1. Stanje u analizi stanja prostora : Odnosi se na najmanji skup promenljivih čije poznavanje u t = t0  zajedno sa poznavanjem ulaza za t ≥ t0 daje kompletno poznavanje ponašanja sistema u bilo kom trenutku t ≥ t0.

2. Promenljive stanja u analizi stanja prostora : Odnose se na najmanji skup promenljivih koji nam pomažu da odredimo stanje dinamičkog sistema. Promenljive stanja definisane su sa x1(t), x2(t)……..Xn(t).

3. Vektor stanja : Ako je potrebno n promenljivih stanja kako bi se opisalo potpuno ponašanje datog sistema, onda se ove n promenljivih stanja smatraju n komponentama vektora x(t). Takav vektor se naziva vektor stanja.

4. Prostor stanja : Odnosi se na n-dimenzioni prostor koji ima x1 osu, x2 osu ………xn osu.

Jednačine stanja prostora

Izvedimo jednačine stanja prostora za sistem koji je linearan i vremenski invarijantan.
Razmotrimo sistem s više ulaza i više izlaza koji ima r ulaza i m izlaza.
Gde, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
I m = y1, y2 ……….. ym.
Sada uzimamo n promenljivih stanja kako bismo opisali dati sistem, dakle n = x1, x2, ……….. xn.
Takođe definišemo ulazne i izlazne vektore kao,
Transponovanje ulaznih vektora,

Gde, T predstavlja transponovanje matrice.

Transponovanje izlaznih vektora,

Gde, T predstavlja transponovanje matrice.
Transponovanje vektora stanja,

Gde, T predstavlja transponovanje matrice.
Ove promenljive su povezane skupom jednačina koje su napisane ispod i poznate su kao jednačine stanja prostora

Predstavljanje modela stanja korišćenjem funkcije prenosa

Rastavljanje : Definisano je kao proces dobijanja modela stanja iz date funkcije prenosa. Sada možemo rastaviti funkciju prenosa koristeći tri različite metode:

1. Direktno rastavljanje,

2. Kaskadno ili serijalno rastavljanje,

3. Paralelno rastavljanje.

U svim gore navedenim metodama rastavljanja prvo pretvaramo datu funkciju prenosa u diferencijalne jednačine, koje se takođe nazivaju dinamičkim jednačinama. Nakon pretvaranja u diferencijalne jednačine, uzimamo inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, a zatim, u skladu sa tipom rastavljanja, možemo kreirati model. Bilo koju vrstu funkcije prenosa možemo predstaviti u modelu stanja. Imamo razne vrste modela, poput električnog modela, mehaničkog modela itd.

Izraz matrice prenosa u terminima A, B, C i D. Definisali smo matricu prenosa kao Laplaceovu transformaciju izlaza na Laplaceovu transformaciju ulaza.
Ponovo upisujemo jednačine stanja i uzimamo Laplaceovu transformaciju obje jednačine stanja (pretpostavljajući da su početni uslovi jednaki nuli) imamo

Možemo napisati jednačinu kao

Gde, I predstavlja jediničnu matricu.
Sada, zamenjujući vrednost X(s) u jednačini Y(s) i stavljajući D = 0 (što znači da je to nula matrica), imamo

Inverz matrice možemo zameniti sa adjungatom matrice podeljenim determinantom matrice, a nakon prepisivanja izraza imamo

|sI-A| je takođe poznato kao karakteristična jednačina kada se izjednači sa nulom.

Koncepcija sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora

Koreni karakteristične jednačine koju smo opisali iznad poznati su kao sopstvene vrednosti ili sopstvene vrednosti matrice A.
Sada postoje neka svojstva vezana za sopstvene vrednosti, a ta svojstva su navedena ispod-

1. Bilo koja kvadratna matrica A i njeno transponovanje At imaju iste sopstvene vrednosti.

2. Zbir sopstvenih vrednosti bilo koje matrice A jednak je tragu matrice A.

3. Podrška