Rendszerirányítás állapotterének elemzése

Mielőtt bemutatnám a irányító rendszer térállapot elemzése koncepcióját, nagyon fontos megvitatni a hagyományos irányító rendszerek elméletének és a modern irányító rendszerek elméletének közötti különbségeket.

1. A hagyományos irányító rendszerek elmélete teljesen az időtartományi megközelítésre alapul, míg a modern irányító rendszerek elmélete az időtartományi megközelítésre épül.

2. A hagyományos irányító rendszerek elméletében csak lineáris, időinvariáns, egy be- és kiemenetű (SISO) rendszereket vizsgálunk, míg a modern irányító rendszerek elméletének segítségével könnyedén elemezhetjük a nem lineáris, időváltozó, több be- és kiemenetű (MIMO) rendszereket is.

3. A modern irányító rendszerek elméletében a stabilitási elemzés és az időválasz elemzést mind grafikus, mind analitikus módszerekkel könnyedén végrehajthatjuk.

Most a irányító rendszer térállapot elemzése a modern elméletre alapul, ami alkalmazható minden típusú rendszerre, mint például egy be- és kiemenetű rendszerek, több be- és kiemenetű rendszerek, lineáris és nem lineáris rendszerek, időváltozó és időinvariáns rendszerek. Nézzük meg néhány alapvető fogalmot a modern irányító rendszerek térállapot elemzésével kapcsolatban.

1. Állapot a térállapot elemzésben: A legkisebb változók halmaza, amelyek ismerete t = t0-nál, valamint a bemenet ismerete t ≥ t0-nál teljes információt ad a rendszer viselkedéséről bármilyen t ≥ t0-ra vonatkozóan.

2. Állapotváltozók a térállapot elemzésben: A legkisebb változók halmaza, amelyek segítségével meghatározhatjuk a dinamikus rendszer állapotát. Az állapotváltozók x1(t), x2(t)……..Xn(t)-vel definiálhatók.

3. Állapottérvektor: Ha n állapotváltozó szükséges a rendszer teljes leírásához, akkor ezek n komponensét tekintjük egy vektor x(t) komponenseinek. Ilyen vektort állapottérvektornak nevezünk.

4. Állapottér: Az n dimenziós tér, amelynek tengelyei az x1, x2 ………xn tengelyek.

Térállapot egyenletek

Vezessük le a térállapot egyenleteket a lineáris, időinvariáns rendszer esetében.
Vegyünk egy több be- és kiemenetű rendszert, amelynek r bemenete és m kiemelete van.
Ahol, r = u1, u2, u3 ……….. ur.
És m = y1, y2 ……….. ym.
Mivel n állapotváltozót használunk a rendszer leírásához, így n = x1, x2, ……….. xn.
Definiáljuk a bemeneti és kimeneti vektorokat, mint
Bemeneti vektor transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.

Kimeneti vektor transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.
Állapotvektor transzponáltja,

Ahol, T a mátrix transzponáltja.
Ezek a változók egy sor egyenletekkel vannak összefüggésbe hozva, amelyeket alább írunk le, és amelyeket térállapot egyenleteknek nevezünk

Állapottomodell ábrázolása átviteli függvény segítségével

Felbontás: Ezt úgy definiáljuk, hogy a térállapottomodell megszerzése a megadott átviteli függvényből. Most felbonthatjuk az átviteli függvényt három különböző módon:

1. Közvetlen felbontás,

2. Lánctani vagy sorozatos felbontás,

3. Paralellis felbontás.

Minden fenti felbontási módban először konvertáljuk a megadott átviteli függvényt differenciálegyenletekbe, amit dinamikus egyenleteknek is nevezünk. Miután differenciálegyenletekké alakítottuk, vegyük a Laplace-transzformált inverzét a fenti egyenlethez, majd a felbontástípusnak megfelelően hozzuk létre a modellt. Bármilyen típusú átviteli függvényt térállapottomodellben ábrázolhatunk. Különböző típusú modellek léteznek, mint például elektromos, mechanikus modellek stb.

Átviteli mátrix kifejezése A, B, C és D segítségével. Definiáljuk az átviteli mátrixot, mint a kimenet Laplace-transzformáltjának és a bemenet Laplace-transzformáltjának arányát.
Írjuk le újra az állapotequationokat, és vegyük a Laplace-transzformáltját mindkét állapotequationon (feltételezve, hogy a kezdeti feltételek nulla)

Leírhatjuk az egyenletet, mint

Ahol, I az egységmátrix.
Most helyettesítsük X(s) értékét az Y(s) egyenletbe, és tegyük fel, hogy D = 0 (azaz zérus mátrix), ekkor

A mátrix inverzét helyettesíthetjük a mátrix adjungáltjának és determinánsának osztásával, most újraírva a kifejezést, hogy

|sI-A| ismert még karakterisztikus egyenletként, amikor nullával egyenlő.

Sajátérték és sajátvektor fogalma

A fent említett karakterisztikus egyenlet gyökei ismertek sajátértékeknek vagy A mátrix sajátértékeinek.
Most van néhány tulajdonság, ami a sajátértékekhez kapcsolódik, és ezek a tulajdonságok a következők:

Tipp